# 背包问题分枝限界法实现 这是一个典型的0-1背包问题，我将使用分枝限界法（Branch and Bound）来解决。分枝限界法通过系统地枚举问题的解空间，并使用界限函数来剪枝，从而避免无效搜索。 ## C语言实现 ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <stdbool.h> #include <limits.h> typedef struct { int level; // 当前决策的层级 int profit; // 当前总价值 int weight; // 当前总重量 float bound; // 价值上界 } Node; int max(int a, int b) { return (a > b) ? a : b; } // 比较函数，用于排序 int compare(const void *a, const void *b) { double r1 = ((double)*(int*)a) / ((double)*(int*)(a + sizeof(int))); double r2 = ((double)*(int*)b) / ((double)*(int*)(b + sizeof(int))); return (r1 < r2) ? 1 : -1; } // 计算节点的价值上界 float bound(Node u, int n, int W, int *w, int *v) { if (u.weight >= W) return 0; float profit_bound = u.profit; int j = u.level + 1; int totweight = u.weight; while (j < n && totweight + w[j] <= W) { totweight += w[j]; profit_bound += v[j]; j++; } if (j < n) { profit_bound += (W - totweight) * ((float)v[j] / w[j]); } return profit_bound; } // 分枝限界法解决0-1背包问题 int knapsack(int W, int *w, int *v, int n) { // 按单位价值排序 int *items = malloc(n * 2 * sizeof(int)); for (int i = 0; i < n; i++) { items[i*2] = v[i]; items[i*2+1] = w[i]; } qsort(items, n, 2*sizeof(int), compare); // 重新排列w和v数组 for (int i = 0; i < n; i++) { v[i] = items[i*2]; w[i] = items[i*2+1]; } free(items); Node u, v_node; int max_profit = 0; // 使用队列实现广度优先搜索 Node *queue = malloc(sizeof(Node) * 10000); int front = 0, rear = 0; // 初始化根节点 u.level = -1; u.profit = 0; u.weight = 0; u.bound = bound(u, n, W, w, v); queue[rear++] = u; while (front != rear) { // 出队 u = queue[front++]; // 如果是叶子节点则跳过 if (u.level == n-1) continue; // 考虑包含下一物品的情况 v_node.level = u.level + 1; v_node.weight = u.weight + w[v_node.level]; v_node.profit = u.profit + v[v_node.level]; if (v_node.weight <= W && v_node.profit > max_profit) { max_profit = v_node.profit; } v_node.bound = bound(v_node, n, W, w, v); if (v_node.bound > max_profit) { queue[rear++] = v_node; } // 考虑不包含下一物品的情况 v_node.weight = u.weight; v_node.profit = u.profit; v_node.bound = bound(v_node, n, W, w, v); if (v_node.bound > max_profit) { queue[rear++] = v_node; } } free(queue); return max_profit; } int main() { int W = 10; // 背包容量 int w[] = {2, 3, 4, 5}; // 物品重量 int v[] = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值 int n = sizeof(v) / sizeof(v[0]); int max_value = knapsack(W, w, v, n); printf("最大价值为: %d\n", max_value); return 0; } ``` ## 时间复杂度分析 分枝限界法的时间复杂度取决于搜索树的节点数量： 1. 最坏情况下，算法需要遍历解空间树的所有节点，解空间树有2^n个节点（n为物品数量），因此最坏时间复杂度为O(2^n)。 2. 实际应用中，由于使用了界限函数进行剪枝，通常能显著减少需要访问的节点数量。平均时间复杂度通常优于暴力枚举。 3. 排序操作的时间复杂度为O(n log n)，这在大多数情况下可以忽略不计。 4. 空间复杂度主要取决于队列的大小，最坏情况下也是O(2^n)，但实际应用中会小很多。 ## 额外注意事项 1. 物品按单位价值排序能提高剪枝效率，使算法更快找到较优解。 2. 界限函数的准确性直接影响算法效率，松散的界限会导致更多节点需要访问。 3. 队列的实现方式会影响性能，动态扩容的队列可能更适合实际应用。 [2025-04-15 09:06:01 | AI写代码神器 | 1222点数解答]