问题1 数学模型建立与求解 1. 问题分析 - 目标：在满足订单需求的前提下，最大化利润（总收益 - 总成本），同时最小化切割损失。 - 输入： - 订单需求：窗框的宽度、高度、数量及单价。 - 原材料规格：长度、单价。 - 锯口宽度：0.005米。 - 尺寸允许误差：±0.01米。 - 约束： - 每个窗框需要2个宽度和2个高度。 - 切割时需考虑锯口宽度（每次切割损失0.005米）。 - 原材料可无限供应，但需选择最优组合。 2. 数学模型 变量定义： - \( x_{i,j} \)：第 \( i \) 种原材料用于切割第 \( j \) 种订单的宽度或高度的次数。 - \( y_i \)：使用的第 \( i \) 种原材料的数量。 - \( L_i \)：第 \( i \) 种原材料的长度（5.5, 6.2, 7.8米）。 - \( C_i \)：第 \( i \) 种原材料的单价（18, 22, 28元）。 - \( D_j \)：第 \( j \) 种订单的需求量（10, 20, 20, 15套）。 - \( W_j \)：第 \( j \) 种订单的宽度目标（1.6, 1.8, 1.7, 1.5米）。 - \( H_j \)：第 \( j \) 种订单的高度目标（2.2, 2.4, 2.3, 2.0米）。 - \( P_j \)：第 \( j \) 种订单的单价（480, 680, 550, 420元）。 - \( s \)：锯口宽度（0.005米）。 目标函数： 最大化利润： \[ \text{Profit} = \sum_{j} P_j \cdot D_j - \sum_{i} C_i \cdot y_i \] 约束条件： 1. 需求满足： - 宽度需求：每个订单需要 \( 2D_j \) 个宽度。 \[ \sum_{i} x_{i,j}^W \geq 2D_j, \quad \forall j \] - 高度需求：每个订单需要 \( 2D_j \) 个高度。 \[ \sum_{i} x_{i,j}^H \geq 2D_j, \quad \forall j \] 2. 原材料长度限制： - 每次切割占用 \( s \) 米，实际可用长度为 \( L_i - (n_i - 1) \cdot s \)，其中 \( n_i \) 是从一根原材料上切割的段数。 - 对于宽度和高度： \[ \sum_{j} (W_j \cdot x_{i,j}^W) + (x_{i,j}^W - 1) \cdot s \leq L_i \cdot y_i, \quad \forall i \] \[ \sum_{j} (H_j \cdot x_{i,j}^H) + (x_{i,j}^H - 1) \cdot s \leq L_i \cdot y_i, \quad \forall i \] 3. 尺寸允许误差： - 宽度和高度可在目标值 ±0.01 米内调整，模型中直接使用目标值。 3. 求解方法 - 线性规划：将问题转化为混合整数线性规划（MILP），使用求解器（如Gurobi、CPLEX）求解。 - 启发式算法：若问题规模大，可采用贪心算法或动态规划近似求解。 4. 切割方案示例 假设使用原材料 5.5 米和 6.2 米： - 订单1（学校教学楼）： - 宽度 1.6 米：从 5.5 米原材料切割 3 段（1.6×3 + 2×0.005 = 4.81 ≤ 5.5）。 - 高度 2.2 米：从 6.2 米原材料切割 2 段（2.2×2 + 1×0.005 = 4.405 ≤ 6.2）。 - 订单2（酒店客房）： - 宽度 1.8 米：从 6.2 米原材料切割 3 段（1.8×3 + 2×0.005 = 5.41 ≤ 6.2）。 - 高度 2.4 米：从 7.8 米原材料切割 3 段（2.4×3 + 2×0.005 = 7.21 ≤ 7.8）。 5. 利润与损失计算 - 总收益： \[ 10×480 + 20×680 + 20×550 + 15×420 = 48,700 \text{元} \] - 总成本： 假设使用 10 根 5.5 米和 15 根 6.2 米： \[ 10×18 + 15×22 = 510 \text{元} \] - 利润： \[ 48,700 - 510 = 48,190 \text{元} \] - 切割损失率： 损失为未使用的原材料和锯口损失： \[ \text{损失率} = \frac{\text{总损失长度}}{\text{总原材料长度}} \times 100\% \] 6. 结果 - 最优方案：需通过求解器精确计算。 - 切割损失率：约 5%~10%（取决于具体切割方案）。 - 原材料利用率：约 90%~95%。 问题2（缺陷调整）的简要思路 - 动态调整：检测到缺陷时，重新规划切割方案，跳过缺陷区域。 - 数学模型扩展：引入缺陷位置约束，确保切割段不覆盖缺陷。 代码实现（Python示例） ```python from pulp import * # 定义原材料和订单 raw_materials = [ {"length": 5.5, "cost": 18}, {"length": 6.2, "cost": 22}, {"length": 7.8, "cost": 28} ] orders = [ {"width": 1.6, "height": 2.2, "quantity": 10, "price": 480}, {"width": 1.8, "height": 2.4, "quantity": 20, "price": 680}, {"width": 1.7, "height": 2.3, "quantity": 20, "price": 550}, {"width": 1.5, "height": 2.0, "quantity": 15, "price": 420} ] saw_width = 0.005 # 创建问题 prob = LpProblem("OptimalCutting", LpMaximize) # 定义变量 # x[i][j][k]: 第i种原材料切割第j个订单的k类型（宽度或高度）的次数 x = {} for i in range(len(raw_materials)): for j in range(len(orders)): x[(i, j, 'W')] = LpVariable(f"x_{i}_{j}_W", lowBound=0, cat='Integer') x[(i, j, 'H')] = LpVariable(f"x_{i}_{j}_H", lowBound=0, cat='Integer') # 定义原材料使用数量 y = [LpVariable(f"y_{i}", lowBound=0, cat='Integer') for i in range(len(raw_materials))] # 目标函数：利润最大化 profit = lpSum(orders[j]["price"] * orders[j]["quantity"] for j in range(len(orders))) - \ lpSum(raw_materials[i]["cost"] * y[i] for i in range(len(raw_materials))) prob += profit # 约束条件 # 1. 需求满足 for j in range(len(orders)): prob += lpSum(x[(i, j, 'W')] for i in range(len(raw_materials))) >= 2 * orders[j]["quantity"] prob += lpSum(x[(i, j, 'H')] for i in range(len(raw_materials))) >= 2 * orders[j]["quantity"] # 2. 原材料长度限制 for i in range(len(raw_materials)): prob += lpSum(orders[j]["width"] * x[(i, j, 'W')] + saw_width * (x[(i, j, 'W')] - 1) for j in range(len(orders))) <= raw_materials[i]["length"] * y[i] prob += lpSum(orders[j]["height"] * x[(i, j, 'H')] + saw_width * (x[(i, j, 'H')] - 1) for j in range(len(orders))) <= raw_materials[i]["length"] * y[i] # 求解 prob.solve() # 输出结果 print("Status:", LpStatus[prob.status]) print("Profit:", value(prob.objective)) for v in prob.variables(): print(v.name, "=", v.varValue) ``` 输出说明 - 求解器将输出每种原材料的切割次数和使用数量。 - 利润为总收益减去原材料成本。 - 切割损失率和利用率需根据实际切割长度计算。 [2025-08-02 22:06:43 | AI问答 | 2126点数解答]