有一群猴子，第一天摘了若干个桃子 ，当即吃了一半，但还觉得不过瘾 ，就又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，还是觉得不过瘾，就又多吃了两个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半加天数个（例如，第 5 天吃了前一天剩下的一半加 5 个）。到第 n 天早上再想吃的时候，就只剩下一个桃子了。求第一天总共摘了多少个桃子。

这可以通过倒推的方式来计算。 设第\(n\)天早上剩下\(1\)个桃子； 第\(n - 1\)天剩下\((1 + n - 1) \times 2 = 2n\)个； 第\(n - 2\)天剩下\((2n + n - 2) \times 2 = (3n - 2) \times 2 = 6n - 4\)个； 第\(n - 3\)天剩下\(((6n - 4) + n - 3) \times 2 = (7n - 7) \times 2 = 14n - 14\)个； ······ 依此类推，第一天剩下的桃子数为一个关于\(n\)的表达式。 设第一天共摘了\(x\)个桃子，则经过\(n\)天的变化，第一天剩下的桃子数可以表示为： \[ \begin{align*} &\left\{\left[\cdots\left[(x - 1) \times \frac{1}{2} - 1\right] \times \frac{1}{2} - 2\right] \cdots \times \frac{1}{2} - (n - 1)\right\}\\ \end{align*} \] 通过不断迭代和整理，可以得到第一天摘的桃子数\(x\)关于\(n\)的表达式，然后计算出结果。 经过推导可得，第一天共摘了\(f(n) = 2 \times \left( 2^n - (1 + 2 + \cdots + n) \right)\)个桃子。 其中\(1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\) 所以\(f(n) = 2 \times \left( 2^n - \frac{n(n + 1)}{2} \right)\) 当给定\(n\)的值时，就可以计算出第一天总共摘的桃子数。 [2024-10-25 13:03:27 | AI写代码神器 | 460点数解答]