1,设一容积v(m^3)的大潮受到某种物质的污染,污染物均匀地分布在湖中.若从某时刻起污染源被切断,设湖水更新的速率是r(m^3/天).试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多少时间的数学模型,美国密西根湖的容积为4871 \times 10^9(m^3),湖水的流量为3.663959132 x 10^10(m^3/天),求污染中止后,污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间.

首先，建立污染物浓度下降的数学模型。设初始污染物浓度为$C_0$，则在时间$t$（天）后，污染物的总量为$C_0(1 - \frac{r}{v}t)$，因为每天有$\frac{r}{v}$的比例的污染物被更新掉。 要求污染物浓度下降至原来的5%，即： $C_0(1 - \frac{r}{v}t) = 0.05C_0$ 解这个方程得到： $1 - \frac{r}{v}t = 0.05$ $\frac{r}{v}t = 0.95$ $t = \frac{0.95v}{r}$ 现在代入密西根湖的具体数值： $v = 4871 \times 10^9 \text{ m}^3$ $r = 3.663959132 \times 10^{10} \text{ m}^3/\text{天}$ 计算所需时间$t$： $t = \frac{0.95 \times 4871 \times 10^9}{3.663959132 \times 10^{10}}$ $t \approx \frac{4622.45 \times 10^9}{3.663959132 \times 10^{10}}$ $t \approx 126.19 \text{ 天}$ 污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间大约是126.19天。 [2024-06-17 15:16:39 | AI写代码神器 | 384点数解答]