在窗边框（窗外边框）的生产过程中，窗框的尺寸和形状对建筑物的外观和功能有重要影响。在加工过程中，原材料（如铝合金、钢材等）往往是长条形的，通常需要根据不同订单的需求进行切割，确保每个窗框的尺寸符合要求。窗框的切割方案需要考虑用户的目标尺寸及其目标范围，同时还需要计算锯口宽度对切割损失的影响。 此外，在生产过程中，原材料可能存在不规则缺陷，缺陷的具**置和大小是随机的，这要求生产过程中能及时调整切割方案，避开缺陷区域，确保窗框的质量，并最大化利用原材料。每次切割时需要考虑锯口宽度的影响，即切割机的切割占用宽度。 请建立数学模型，解决以下问题： 问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求： 表1： 订单的具体切割需求 订单号 订单需求对象 订单量（套） 宽度目标（米） 高度目标（米） 窗框单价（元/套） 1 学校教学楼 10 1.6 2.2 480 2 酒店客房 20 1.8

以下是针对该问题建立的数学模型及求解思路，并给出Python代码实现： 数学模型 决策变量 - 设 $x_{i,j}$ 为使用第 $i$ 种原材料（$i = 1,2,3$ 分别对应长度为 $5.5$ 米、$6.2$ 米、$7.8$ 米的原材料）切割出第 $j$ 种窗框（$j = 1,2,3,4$ 分别对应学校教学楼、酒店客房、医院病房、办公楼的窗框）的套数。 - 设 $y_i$ 为使用第 $i$ 种原材料的根数。 目标函数 目标是实现利润最大化，即总收益减去总成本。总收益为每种窗框的订单量乘以单价之和，总成本为每种原材料的使用根数乘以单价之和。 \[ \max Z = \sum_{j=1}^{4}x_{j} \times \text{单价}_j - \sum_{i=1}^{3}y_i \times \text{单价}_i \] 其中，$x_j$ 是第 $j$ 种窗框实际切割出的套数，且 $x_j \leq \text{订单量}_j$。 约束条件 1. 窗框数量约束：每种窗框的切割套数不能超过订单需求。 \[ x_{j} \leq \text{订单量}_j, \quad j = 1,2,3,4 \] 2. 原材料长度约束：对于每种原材料，切割出的窗框所需长度（考虑锯口宽度）不能超过原材料的总长度。 设 $l_{j,w}$ 和 $l_{j,h}$ 分别为第 $j$ 种窗框的宽度和高度，对于第 $i$ 种原材料，有： \[ \sum_{j=1}^{4}x_{i,j} \times (2 \times (l_{j,w} + 0.005)+ 2 \times (l_{j,h} + 0.005)) \leq y_i \times \text{长度}_i, \quad i = 1,2,3 \] 3. 非负整数约束：决策变量 $x_{i,j}$ 和 $y_i$ 都为非负整数。 \[ x_{i,j} \geq 0, \quad y_i \geq 0, \quad \text{且为整数}, \quad i = 1,2,3; j = 1,2,3,4 \] 切割损失率和利用率 - 切割损失率：切割损失的总长度与使用的原材料总长度的比值。 - 利用率：实际用于制作窗框的总长度与使用的原材料总长度的比值。 Python代码实现 ```python import pulp # 订单信息 orders = [ (10, 1.6, 2.2, 480), (20, 1.8, 2.4, 680), (20, 1.7, 2.3, 550), (15, 1.5, 2.0, 420) ] # 原材料信息 materials = [ (5.5, 18), (6.2, 22), (7.8, 28) ] # 锯口宽度 saw_width = 0.005 # 创建线性规划问题 prob = pulp.LpProblem("WindowFrameCutting", pulp.LpMaximize) # 决策变量 x = pulp.LpVariable.dicts("x", [(i, j) for i in range(3) for j in range(4)], lowBound=0, cat='Integer') y = pulp.LpVariable.dicts("y", range(3), lowBound=0, cat='Integer') # 目标函数 total_income = pulp.lpSum([x[(i, j)] * orders[j][3] for i in range(3) for j in range(4)]) total_cost = pulp.lpSum([y[i] * materials[i][1] for i in range(3)]) prob += total_income - total_cost # 约束条件 # 窗框数量约束 for j in range(4): prob += pulp.lpSum([x[(i, j)] for i in range(3)]) <= orders[j][0] # 原材料长度约束 for i in range(3): length_used = pulp.lpSum([x[(i, j)] * (2 * (orders[j][1] + saw_width) + 2 * (orders[j][2] + saw_width)) for j in range(4)]) prob += length_used <= y[i] * materials[i][0] # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("最优利润: ", pulp.value(prob.objective)) total_used_length = 0 total_material_length = 0 total_waste_length = 0 for i in range(3): print(f"使用长度为 {materials[i][0]} 米的原材料 {pulp.value(y[i])} 根") total_material_length += pulp.value(y[i]) * materials[i][0] used_length = sum([pulp.value(x[(i, j)]) * (2 * (orders[j][1] + saw_width) + 2 * (orders[j][2] + saw_width)) for j in range(4)]) total_used_length += used_length total_waste_length += pulp.value(y[i]) * materials[i][0] - used_length # 计算切割损失率和利用率 cutting_loss_rate = total_waste_length / total_material_length utilization_rate = total_used_length / total_material_length print("切割损失率: ", cutting_loss_rate) print("利用率: ", utilization_rate) # 输出每种窗框的切割套数 for j in range(4): print(f"切割 {orders[j][3]} 元/套的窗框 {sum([pulp.value(x[(i, j)]) for i in range(3)])} 套") ``` 代码解释 1. 数据初始化：定义订单信息、原材料信息和锯口宽度。 2. 创建线性规划问题：使用 `pulp` 库创建一个最大化问题。 3. 定义决策变量：定义 $x_{i,j}$ 和 $y_i$ 为非负整数变量。 4. 定义目标函数：计算总收益和总成本，目标是最大化两者的差值。 5. 添加约束条件：包括窗框数量约束和原材料长度约束。 6. 求解问题：调用 `prob.solve()` 求解线性规划问题。 7. 输出结果：输出最优利润、每种原材料的使用根数、切割损失率、利用率以及每种窗框的切割套数。 通过以上代码和数学模型，可以得到最优切割方案，实现利润最大化，并计算出切割损失率和利用率。 [2025-06-07 12:41:04 | AI问答 | 1603点数解答]