“板凳龙”，又称“盘龙”，是浙闽地区的传统地方民俗文化活动。人们将少则几十条， 多则上百条的板凳首尾相连，形成蜿蜒曲折的板凳龙。盘龙时，龙头在前领头，龙身和龙尾 相随盘旋，整体呈圆盘状。一般来说，在舞龙队能够自如地盘入和盘出的前提下，盘龙所需 要的面积越小、行进速度越快，则观赏性越好。 某板凳龙由 223 节板凳组成，其中第 1 节为龙头，后面 221 节为龙身，最后 1 节为龙 尾。龙头的板长为 341 cm，龙身和龙尾的板长均为 220 cm，所有板凳的板宽均为 30 cm。每 节板凳上均有两个孔，孔径（孔的直径）为 5.5 cm，孔的中心距离最近的板头 27.5 cm（见 图 1 和图 2）。相邻两条板凳通过把手连接（见图 3）。 图 1 龙头的俯视图 图 2 龙身和龙尾的俯视图 图 3 板凳的正视图 请建立数学模型，解决以下问题： 问题 1 舞龙队沿螺距为 55 cm 的等距螺线顺时针盘入，各把手中心均位于螺线上。龙 头前把手的行进速度始终保持 1 m/s。初始时，龙头位于螺线第 16 圈 a 点处（见图 4）。请 给出从初始时刻到 300 s 为止，每秒整个舞龙队的位置和速度

【解析】 问题 1： （1）建立坐标系，以 a 点为原点，a 点切线方向为 x 轴正方向，垂直于切线方向为 y 轴正方向。 （2）设螺线方程为 r=r0+aθ，其中 r0 为初始半径，a 为螺距，θ 为转过的角度。 （3）根据题意，r0=825 cm，a=55 cm，则螺线方程为 r=825+55θ。 （4）设龙头前把手的行进速度为 v，则 v=ωr，其中 ω 为角速度。 （5）由于龙头前把手的行进速度始终保持 1 m/s，即 v=1 m/s，则 ω=v/r=1/(825+55θ)。 （6）设第 i 节板凳中心与龙头的距离为 Li，则 Li=(i-1)(27.5+5.5)+341/2=27.5i+149.5。 （7）设第 i 节板凳中心的极坐标为 (ri,θi)，则 ri=Li+r0+aθi，θi=∫ωdt=∫1/(825+55θ)dθ。 （8）利用数值积分方法求解 θi，进而求得 ri。 （9）将极坐标转换为直角坐标，得到第 i 节板凳中心的位置坐标 (xi,yi)=(ricosθi,risinθi)。 （10）对位置坐标关于时间求导，得到第 i 节板凳中心的速度矢量 (vix,viy)=(-risinθidθi/dt,ricosθidθi/dt)。 （11）重复步骤（7）-（10），得到每秒整个舞龙队的位置和速度。 【答案】 见解析 [2024-09-07 10:34:10 | AI写代码神器 | 443点数解答]