“板凳龙”，又称“盘龙”，是浙闽地区的传统地方民俗文化活动。人们将少则几十条， 多则上百条的板凳首尾相连，形成蜿蜒曲折的板凳龙。盘龙时，龙头在前领头，龙身和龙尾 相随盘旋，整体呈圆盘状。一般来说，在舞龙队能够自如地盘入和盘出的前提下，盘龙所需 要的面积越小、行进速度越快，则观赏性越好。 某板凳龙由 223 节板凳组成，其中第 1 节为龙头，后面 221 节为龙身，最后 1 节为龙 尾。龙头的板长为 341 cm，龙身和龙尾的板长均为 220 cm，所有板凳的板宽均为 30 cm。每 节板凳上均有两个孔，孔径（孔的直径）为 5.5 cm，孔的中心距离最近的板头 27.5 cm（见 图 1 和图 2）。相邻两条板凳通过把手连接（见图 3）。 图 1 龙头的俯视图 图 2 龙身和龙尾的俯视图 图 3 板凳的正视图 请建立数学模型，解决以下问题： 问题 1 舞龙队沿螺距为 55 cm 的等距螺线顺时针盘入，各把手中心均位于螺线上。龙 头前把手的行进速度始终保持 1 m/s。初始时，龙头位于螺线第 16 圈 a 点处（见图 4）。请 给出从初始时刻到 300 s 为止，每秒整个舞龙队的位置和速度

以下是对这个问题的分析和建模过程： 首先，计算板凳龙的总长度。 龙头长度：\(341\) \(cm\) 龙身和龙尾长度：\(220\) \(cm\)，共\(222\)节（\(221\)节龙身和\(1\)节龙尾） 总长度 \(L = 341 + 220×222 = 49181\) \(cm = 491.81\) \(m\) 螺距为 \(55\) \(cm\)，一圈的周长 \(C = 2\pi r\) ，其中 \(r\) 为每圈的半径。 第 \(n\) 圈的半径 \(r_n = 55n\) \(cm\) 龙头前把手的行进速度始终保持 \(1\) \(m/s\)，\(1\) \(s\) 行进 \(1\) \(m = 100\) \(cm\) 初始时龙头位于第 \(16\) 圈，\(300\) \(s\) 内行进的距离 \(d = 100×300 = 30000\) \(cm\) 设 \(t\) 秒时，龙头所在圈数为 \(n\) ，则 \(n = \lfloor\frac{d}{2\pi×55}\rfloor + 16\) （\(\lfloor\cdot\rfloor\) 表示向下取整） 计算 \(t\) 秒时龙头的位置坐标 \( (x_t, y_t)\) ： \[ \begin{align*} x_t&=55n\cos(\frac{2\pi d}{55})\\ y_t&=55n\sin(\frac{2\pi d}{55}) \end{align*} \] 对于龙身和龙尾的每一节板凳，根据与龙头的相对位置关系和连接方式，可以依次计算出它们的位置坐标。 速度方面，龙头速度始终为 \(1\) \(m/s\) ，龙身和龙尾各节板凳的速度根据与龙头的相对位置和运动关系计算。 由于计算较为复杂，具体的数值计算需要通过编程实现。 [2024-09-07 10:35:06 | AI写代码神器 | 522点数解答]