问题2和问题3的数学建模与最优切割方案 1. 问题描述与假设 - 原材料缺陷：每个原材料存在不规则缺陷，缺陷区域为矩形，已知缺陷的起始位置和尺寸。 - 切割要求：切割的成品不能包含缺陷区域。 - 订单需求：如表3所示，包含订单量、目标尺寸和单价。 - 目标：在考虑缺陷的情况下，制定最优切割方案，最小化切割损失率，最大化原材料利用率。 2. 符号定义 - \( W \): 原材料的宽度。 - \( H \): 原材料的高度。 - \( D \): 缺陷集合，每个缺陷表示为 \( (x_i, y_i, w_i, h_i) \)，其中 \( (x_i, y_i) \) 为缺陷起始位置，\( w_i \) 和 \( h_i \) 为缺陷的宽度和高度。 - \( O \): 订单集合，每个订单 \( j \) 需求 \( n_j \) 套成品，尺寸为 \( (w_j, h_j) \)。 - \( x_{jk}, y_{jk} \): 第 \( j \) 个订单的第 \( k \) 个成品在原材料上的起始位置。 - \( z_{jk} \): 二进制变量，表示第 \( j \) 个订单的第 \( k \) 个成品是否被切割（1为是，0为否）。 3. 约束条件 1. 成品不重叠：任意两个成品不能重叠。 \[ (x_{j_1k_1} + w_{j_1} \leq x_{j_2k_2}) \lor (x_{j_2k_2} + w_{j_2} \leq x_{j_1k_1}) \lor (y_{j_1k_1} + h_{j_1} \leq y_{j_2k_2}) \lor (y_{j_2k_2} + h_{j_2} \leq y_{j_1k_1}) \] 对所有 \( j_1, j_2, k_1, k_2 \) 成立。 2. 成品不包含缺陷：成品不能与任何缺陷区域重叠。 \[ (x_{jk} + w_j \leq x_i) \lor (x_i + w_i \leq x_{jk}) \lor (y_{jk} + h_j \leq y_i) \lor (y_i + h_i \leq y_{jk}) \] 对所有 \( j, k, i \) 成立。 3. 边界约束：成品必须在原材料范围内。 \[ 0 \leq x_{jk} \leq W - w_j, \quad 0 \leq y_{jk} \leq H - h_j \] 4. 订单需求满足： \[ \sum_{k} z_{jk} \geq n_j \quad \forall j \] 4. 目标函数 最大化原材料利用率，即最小化切割损失率： \[ \text{最大化} \sum_{j} n_j w_j h_j \] 或等价地： \[ \text{最小化} \left( W H - \sum_{j} n_j w_j h_j \right) \] 5. 多重整数线性规划模型 将上述约束和目标函数转化为线性约束： 1. 不重叠约束：引入辅助变量 \( a_{j_1k_1j_2k_2}, b_{j_1k_1j_2k_2}, c_{j_1k_1j_2k_2}, d_{j_1k_1j_2k_2} \) 表示四种不重叠情况： \[ x_{j_1k_1} + w_{j_1} \leq x_{j_2k_2} + M (1 - a_{j_1k_1j_2k_2}) \] \[ x_{j_2k_2} + w_{j_2} \leq x_{j_1k_1} + M (1 - b_{j_1k_1j_2k_2}) \] \[ y_{j_1k_1} + h_{j_1} \leq y_{j_2k_2} + M (1 - c_{j_1k_1j_2k_2}) \] \[ y_{j_2k_2} + h_{j_2} \leq y_{j_1k_1} + M (1 - d_{j_1k_1j_2k_2}) \] \[ a_{j_1k_1j_2k_2} + b_{j_1k_1j_2k_2} + c_{j_1k_1j_2k_2} + d_{j_1k_1j_2k_2} \geq 1 \] 其中 \( M \) 是一个足够大的常数。 2. 缺陷约束：类似地引入辅助变量： \[ x_{jk} + w_j \leq x_i + M (1 - e_{jki}) \] \[ x_i + w_i \leq x_{jk} + M (1 - f_{jki}) \] \[ y_{jk} + h_j \leq y_i + M (1 - g_{jki}) \] \[ y_i + h_i \leq y_{jk} + M (1 - h_{jki}) \] \[ e_{jki} + f_{jki} + g_{jki} + h_{jki} \geq 1 \] 3. 订单需求： \[ \sum_{k} z_{jk} \geq n_j \quad \forall j \] \[ z_{jk} \in \{0, 1\} \] 6. 切割损失率与利用率 - 切割损失率： \[ \text{损失率} = \frac{W H - \sum_{j} n_j w_j h_j}{W H} \] - 利用率： \[ \text{利用率} = \frac{\sum_{j} n_j w_j h_j}{W H} \] 7. 求解方法 使用整数线性规划求解器（如CPLEX、Gurobi）求解上述模型，得到最优切割方案。 8. 示例计算 假设原材料尺寸 \( W = 10 \), \( H = 10 \)，缺陷和订单数据如下： - 缺陷：\( (2, 3, 1, 1) \), \( (5, 6, 2, 1) \)。 - 订单： - 订单1：\( n_1 = 120 \), \( w_1 = 1.6 \), \( h_1 = 2.2 \)。 - 订单2：\( n_2 = 80 \), \( w_2 = 1.8 \), \( h_2 = 2.4 \)。 求解步骤： 1. 生成所有可能的切割位置 \( (x_{jk}, y_{jk}) \)。 2. 检查是否满足不重叠和缺陷约束。 3. 通过整数规划求解满足订单需求的切割方案。 结果： - 切割方案：具体成品的起始位置。 - 利用率：假设为 85%，则损失率为 15%。 9. 代码实现（伪代码） ```python import pulp # 定义问题 prob = pulp.LpProblem("Cutting_Stock_Problem", pulp.LpMaximize) # 定义变量 x = pulp.LpVariable.dicts("x", (j, k), lowBound=0, cat='Continuous') y = pulp.LpVariable.dicts("y", (j, k), lowBound=0, cat='Continuous') z = pulp.LpVariable.dicts("z", (j, k), cat='Binary') # 目标函数 prob += pulp.lpSum([n_j * w_j * h_j for j in orders]) # 约束条件 for j1, k1 in products: for j2, k2 in products: if (j1, k1) != (j2, k2): prob += x[j1][k1] + w[j1] <= x[j2][k2] + M * (1 - a[j1][k1][j2][k2]) prob += x[j2][k2] + w[j2] <= x[j1][k1] + M * (1 - b[j1][k1][j2][k2]) prob += y[j1][k1] + h[j1] <= y[j2][k2] + M * (1 - c[j1][k1][j2][k2]) prob += y[j2][k2] + h[j2] <= y[j1][k1] + M * (1 - d[j1][k1][j2][k2]) prob += a[j1][k1][j2][k2] + b[j1][k1][j2][k2] + c[j1][k1][j2][k2] + d[j1][k1][j2][k2] >= 1 for j, k in products: for i in defects: prob += x[j][k] + w[j] <= x_i[i] + M * (1 - e[j][k][i]) prob += x_i[i] + w_i[i] <= x[j][k] + M * (1 - f[j][k][i]) prob += y[j][k] + h[j] <= y_i[i] + M * (1 - g[j][k][i]) prob += y_i[i] + h_i[i] <= y[j][k] + M * (1 - h[j][k][i]) prob += e[j][k][i] + f[j][k][i] + g[j][k][i] + h[j][k][i] >= 1 for j in orders: prob += pulp.lpSum([z[j][k] for k in range(max_cuts)]) >= n[j] # 求解 prob.solve() # 输出结果 print("Status:", pulp.LpStatus[prob.status]) for j in orders: for k in range(max_cuts): if z[j][k].value() == 1: print(f"Order {j}, cut {k}: x={x[j][k].value()}, y={y[j][k].value()}") ``` 10. 结论 通过上述模型和求解方法，可以在考虑缺陷的情况下制定最优切割方案，并计算切割损失率和利用率。实际应用中需根据具体数据调整模型参数。 [2025-08-12 19:52:01 | AI问答 | 2423点数解答]