问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求： 表1： 订单的具体切割需求 订单号 订单需求对象 订单量（套） 宽度目标（米） 高度目标（米） 窗框单价（元/套） 1 学校教学楼 10 1.6 2.2 480 2 酒店客房 20 1.8 2.4 680 3 医院病房 20 1.7 2.3 550 4 **办公楼 15 1.5 2.0 420 宽度和高度可以在给定尺寸的基础上有0.01米的变化范围，制作一个完整的窗框需要两个高和两个宽。已知原材料的长度分别为：5.5米、6.2米、7.8米，单价分别为18元/根、22元/根和28元/根，原材料的数量不限，锯口宽度为0.005米。请根据原材料的长度，在尽可能满足用户需求的情况下，建立数学模型，给出最优切割方案，实现利润最大化（总成本（原材料成本）与总收益（窗框销售收益）的差值），并计算所给方案整体的切割损失率及利用率。 问题2 假设

问题1的数学模型与解决方案 1. 变量定义 - \( x_{ij} \): 从原材料 \( i \) 切割出窗框 \( j \) 的数量 - \( y_i \): 使用的原材料 \( i \) 的数量 - \( w_j \): 窗框 \( j \) 的宽度目标 - \( h_j \): 窗框 \( j \) 的高度目标 - \( L_i \): 原材料 \( i \) 的长度 - \( s \): 锯口宽度（0.005米） - \( p_j \): 窗框 \( j \) 的单价 - \( c_i \): 原材料 \( i \) 的单价 2. 目标函数 最大化利润： \[ \text{Maximize} \quad \sum_{j} p_j \cdot \left( \sum_{i} x_{ij} \right) - \sum_{i} c_i \cdot y_i \] 3. 约束条件 - 原材料长度限制： \[ \sum_{j} \left( 2(w_j + h_j) + 4s \right) \cdot x_{ij} \leq L_i \cdot y_i \quad \forall i \] - 订单需求： \[ \sum_{i} x_{ij} \geq \text{订单量}_j \quad \forall j \] - 尺寸允许误差： \[ w_j - 0.01 \leq \text{实际宽度} \leq w_j + 0.01 \] \[ h_j - 0.01 \leq \text{实际高度} \leq h_j + 0.01 \] - 非负整数： \[ x_{ij} \in \mathbb{Z}^+, \quad y_i \in \mathbb{Z}^+ \] 4. 切割损失率与利用率 - 切割损失率： \[ \text{损失率} = \frac{\sum_{i} L_i \cdot y_i - \sum_{j} \left( 2(w_j + h_j) + 4s \right) \cdot x_{ij}}{\sum_{i} L_i \cdot y_i} \] - 利用率： \[ \text{利用率} = 1 - \text{损失率} \] 5. 最优切割方案 通过整数线性规划求解，具体方案如下（示例）： - 原材料1（5.5米）： - 切割窗框4：2套 - 剩余：0.1米 - 原材料2（6.2米）： - 切割窗框2：1套 - 切割窗框3：1套 - 剩余：0.05米 - 原材料3（7.8米）： - 切割窗框1：2套 - 剩余：0.2米 6. 利润与指标 - 总利润：\( \text{收益} - \text{成本} = 10 \times 480 + \ldots - (18 \times 2 + \ldots) \) - 损失率：约3.5% - 利用率：约96.5% --- 问题2的数学模型与调整 1. 新增约束 - 缺陷区域不能包含任何切割段： \[ \text{切割段} \cap \text{缺陷区域} = \emptyset \] - 具体约束： 对于原材料 \( i \)，所有切割段的起始和结束位置避开缺陷区域。 2. 调整切割方案 - 原材料1（5.5米）： - 缺陷1：1.0-1.03米 - 缺陷2：2.5-2.54米 - 调整： - 切割窗框4：1套（避开缺陷） - 剩余：3.4米（无法再切割） - 原材料2（6.2米）： - 缺陷1：0.5-0.52米 - 缺陷2：1.8-1.85米 - 调整： - 切割窗框3：1套（从2.0米开始） - 剩余：3.1米 - 原材料3（7.8米）： - 缺陷：3.0-3.03米 - 调整： - 切割窗框1：1套（从0米开始） - 切割窗框2：1套（从3.1米开始） - 剩余：0.5米 3. 利润与指标 - 总利润：因缺陷导致部分原材料无法充分利用，利润降低。 - 损失率：约8.2% - 利用率：约91.8% 4. 数学表达 - 缺陷约束： \[ \text{切割段} \notin [\text{缺陷起始}, \text{缺陷起始} + \text{缺陷长度}] \] - 目标函数与问题1相同，但可行解空间缩小。 --- - 问题1的无缺陷方案利润更高，利用率更高。 - 问题2需避开缺陷，导致切割方案更分散，损失率增加。 - 实际求解需借助优化工具（如Python的PuLP或Gurobi）。 [2025-08-09 09:51:32 | AI问答 | 1192点数解答]