框销售收入）的差值最大化）。 问题分析 1. 窗框需求：每个窗框需要2个宽度和2个高度，宽度和高度的允许误差为±0.01米。 2. 原材料：有3种长度的原材料（5.5m、6.2m、7.8m），单价不同，数量不限。 3. 锯口宽度：每次切割损失0.005米。 4. 目标：最大化利润 = 总收益（窗框销售收入） - 总成本（原材料成本）。 数学模型 变量定义 - 原材料类型：\( t \in \{1,2,3\} \)（分别对应5.5m、6.2m、7.8m）。 - 订单需求：\( i \in \{1,2,3,4\} \)，对应表1的订单。 - 窗框宽度：\( w_i \pm 0.01 \)，如订单1的宽度为1.6±0.01。 - 窗框高度：\( h_i \pm 0.01 \)，如订单1的高度为2.2±0.01。 - 切割方案： - 每根原材料可以切割出多个宽度或高度，但需考虑锯口损失。 - 设 \( x_{i,t} \) 为用原材料 \( t \) 切割的窗框 \( i \) 的宽度数量。 - 设 \( y_{i,t} \) 为用原材料 \( t \) 切割的窗框 \( i \) 的高度数量。 约束条件 1. 原材料长度限制： - 对于宽度切割： \[ \sum_{i} (w_i + 0.005) \cdot x_{i,t} \leq L_t \] 其中 \( L_t \) 是原材料 \( t \) 的长度。 - 对于高度切割： \[ \sum_{i} (h_i + 0.005) \cdot y_{i,t} \leq L_t \] 2. 订单需求满足： - 每个订单需要 \( 2 \times \text{订单量} \) 个宽度和高度： \[ \sum_{t} x_{i,t} \geq 2 \cdot D_i, \quad \sum_{t} y_{i,t} \geq 2 \cdot D_i \] 其中 \( D_i \) 是订单 \( i \) 的需求量。 3. 非负整数约束： - \( x_{i,t}, y_{i,t} \) 为非负整数。 目标函数 最大化利润： \[ \text{Profit} = \sum_{i} P_i \cdot D_i - \sum_{t} C_t \cdot (N_{w,t} + N_{h,t}) \] 其中： - \( P_i \) 是窗框 \( i \) 的单价。 - \( C_t \) 是原材料 \( t \) 的单价。 - \( N_{w,t} \) 是用于切割宽度的原材料 \( t \) 的数量。 - \( N_{h,t} \) 是用于切割高度的原材料 \( t \) 的数量。 MATLAB 实现 使用整数线性规划（`intlinprog`）求解。 ```matlab % 订单数据 orders = [ 10, 1.6, 2.2, 480; % 订单1 20, 1.8, 2.4, 680; % 订单2 20, 1.7, 2.3, 550; % 订单3 15, 1.5, 2.0, 420 % 订单4 ]; % 原材料数据 materials = [ 5.5, 18; 6.2, 22; 7.8, 28 ]; saw_width = 0.005; % 锯口宽度 tolerance = 0.01; % 允许误差 % 提取窗框宽度和高度（考虑误差） w_min = orders(:, 2) - tolerance; w_max = orders(:, 2) + tolerance; h_min = orders(:, 3) - tolerance; h_max = orders(:, 3) + tolerance; % 变量总数：每个订单对每种原材料有宽度和高度切割变量 num_orders = size(orders, 1); num_materials = size(materials, 1); num_vars = 2 * num_orders * num_materials; % 目标函数：最大化利润 = 总收益 - 总成本 revenue = sum(orders(:, 1) .* orders(:, 4)); f = zeros(num_vars, 1); for t = 1:num_materials f((t-1)*2*num_orders + 1 : t*2*num_orders) = -materials(t, 2); end f = [f; -revenue]; % 将收益作为额外变量 % 约束条件 A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; % 原材料长度约束 for t = 1:num_materials L = materials(t, 1); % 宽度切割约束 A_w = zeros(1, num_vars); for i = 1:num_orders A_w((t-1)*2*num_orders + i) = w_max(i) + saw_width; end A = [A; A_w]; b = [b; L]; % 高度切割约束 A_h = zeros(1, num_vars); for i = 1:num_orders A_h((t-1)*2*num_orders + num_orders + i) = h_max(i) + saw_width; end A = [A; A_h]; b = [b; L]; end % 订单需求约束 for i = 1:num_orders Aeq_i = zeros(1, num_vars); for t = 1:num_materials Aeq_i((t-1)*2*num_orders + i) = 1; % 宽度 Aeq_i((t-1)*2*num_orders + num_orders + i) = 1; % 高度 end Aeq = [Aeq; Aeq_i]; beq = [beq; 2 * orders(i, 1)]; % 每个窗框需要2个宽度和高度 end % 变量边界 lb = zeros(num_vars, 1); ub = inf(num_vars, 1); % 整数约束 intcon = 1:num_vars; % 求解 options = optimoptions('intlinprog', 'Display', 'off'); [x, fval] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options); % 解析结果 profit = -fval; disp(['最大利润：', num2str(profit), ' 元']); % 输出切割方案 for t = 1:num_materials disp(['原材料 ', num2str(materials(t, 1)), 'm：']); for i = 1:num_orders x_w = x((t-1)*2*num_orders + i); x_h = x((t-1)*2*num_orders + num_orders + i); if x_w > 0 || x_h > 0 disp([' 订单', num2str(i), '：宽度 ', num2str(x_w), ' 个，高度 ', num2str(x_h), ' 个']); end end end ``` 输出说明 1. 最大利润：程序输出利润最大值。 2. 切割方案：每根原材料的切割数量（宽度和高度）。 优化方向 - 如果订单量或原材料种类增加，可以扩展模型。 - 考虑动态规划或启发式算法处理更大规模问题。 [2025-06-06 16:35:01 | AI问答 | 1808点数解答]