问题分析 我们需要解决的问题是在给定的订单需求和原材料条件下，找到一个最优的切割方案，使得利润最大化。利润定义为总收益减去总成本。具体来说： 1. 订单需求：每个订单需要多个窗框，每个窗框由两个宽度和两个高度的窗框条组成。宽度和高度的目标尺寸允许有±0.01米的误差。 2. 原材料：有三种长度的原材料，每种长度的单价不同。原材料的数量不限。 3. 切割损失：每次切割有一个锯口宽度（0.005米），这会占用原材料的长度。 4. 目标：最大化利润（总收益 - 总成本），同时计算切割损失率和利用率。 数学模型 定义变量 - 设原材料的种类为 \( t \in \{1, 2, 3\} \)，分别对应长度 5.5 米、6.2 米、7.8 米。 - 设订单为 \( o \in \{1, 2, 3, 4\} \)，对应表1中的订单。 - 设窗框的宽度和高度的切割尺寸为： - 宽度：\( w_o \in [w_o^{\text{min}}, w_o^{\text{max}}] \)，其中 \( w_o^{\text{min}} = w_o^{\text{target}} - 0.01 \)，\( w_o^{\text{max}} = w_o^{\text{target}} + 0.01 \)。 - 高度：\( h_o \in [h_o^{\text{min}}, h_o^{\text{max}}] \)，类似定义。 - 设从原材料 \( t \) 中切割出 \( n_{t,o,w} \) 个宽度 \( w_o \) 和 \( n_{t,o,h} \) 个高度 \( h_o \)。 - 设使用的原材料 \( t \) 的数量为 \( y_t \)。 目标函数 最大化利润： \[ \text{Profit} = \sum_o \text{Revenue}_o - \sum_t \text{Cost}_t \] 其中： - 总收益：\( \text{Revenue} = \sum_o \text{Quantity}_o \times \text{Price}_o \)。 - 总成本：\( \text{Cost} = \sum_t y_t \times \text{Price}_t \)。 约束条件 1. 订单需求满足： - 每个订单 \( o \) 需要 \( 2 \times \text{Quantity}_o \) 个宽度 \( w_o \) 和 \( 2 \times \text{Quantity}_o \) 个高度 \( h_o \)： \[ \sum_{t} n_{t,o,w} \geq 2 \times \text{Quantity}_o, \quad \forall o \] \[ \sum_{t} n_{t,o,h} \geq 2 \times \text{Quantity}_o, \quad \forall o \] 2. 原材料长度限制： - 对于每根原材料 \( t \)，切割出的宽度和高度的总长度加上锯口宽度不能超过原材料的长度： \[ \sum_{o} (n_{t,o,w} \times w_o + n_{t,o,h} \times h_o) + \left( \sum_{o} (n_{t,o,w} + n_{t,o,h}) - 1 \right) \times 0.005 \leq L_t \times y_t, \quad \forall t \] 其中 \( L_t \) 是原材料 \( t \) 的长度。 3. 尺寸允许误差： - 宽度和高度的切割尺寸必须在允许的误差范围内： \[ w_o \in [w_o^{\text{target}} - 0.01, w_o^{\text{target}} + 0.01], \quad \forall o \] \[ h_o \in [h_o^{\text{target}} - 0.01, h_o^{\text{target}} + 0.01], \quad \forall o \] 4. 非负整数约束： - \( n_{t,o,w}, n_{t,o,h}, y_t \) 为非负整数。 切割损失率和利用率 - 切割损失率： \[ \text{Loss Rate} = \frac{\text{Total Waste}}{\text{Total Raw Material Used}} \times 100\% \] 其中： \[ \text{Total Waste} = \sum_t L_t \times y_t - \sum_{t,o} (n_{t,o,w} \times w_o + n_{t,o,h} \times h_o) \] - 利用率： \[ \text{Utilization Rate} = 1 - \text{Loss Rate} \] MATLAB代码实现 以下是使用 MATLAB 的整数线性规划（`intlinprog`）求解该问题的代码： ```matlab % 订单数据 orders = [ 1, 10, 1.6, 2.2, 480; % 订单1 2, 20, 1.8, 2.4, 680; % 订单2 3, 20, 1.7, 2.3, 550; % 订单3 4, 15, 1.5, 2.0, 420 % 订单4 ]; % 原材料数据 raw_materials = [ 5.5, 18; % 原材料1 6.2, 22; % 原材料2 7.8, 28 % 原材料3 ]; % 锯口宽度 kerf = 0.005; % 订单数量 num_orders = size(orders, 1); % 原材料种类 num_materials = size(raw_materials, 1); % 窗框的宽度和高度范围 width_min = orders(:, 3) - 0.01; width_max = orders(:, 3) + 0.01; height_min = orders(:, 4) - 0.01; height_max = orders(:, 4) + 0.01; % 变量定义： % n_w(t, o): 从原材料t切割出的订单o的宽度数量 % n_h(t, o): 从原材料t切割出的订单o的高度数量 % y(t): 使用的原材料t的数量 % w(o): 订单o的宽度（连续变量） % h(o): 订单o的高度（连续变量） % 变量总数： % n_w: num_materials * num_orders % n_h: num_materials * num_orders % y: num_materials % w: num_orders % h: num_orders num_vars = 2 * num_materials * num_orders + num_materials + 2 * num_orders; % 目标函数：最大化利润 = 总收益 - 总成本 % 总收益：sum(orders(:, 2) .* orders(:, 5)) % 总成本：sum(y .* raw_materials(:, 2)) % 由于总收益是常数，可以忽略，等价于最小化总成本 f = zeros(num_vars, 1); f(end - num_materials - 2 * num_orders + 1 : end - 2 * num_orders) = raw_materials(:, 2); % y的成本 % 整数变量：n_w, n_h, y intcon = 1 : (2 * num_materials * num_orders + num_materials); % 约束条件 A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = zeros(num_vars, 1); ub = Inf(num_vars, 1); % 1. 订单需求满足： % sum_t n_w(t, o) >= 2 * Quantity_o % sum_t n_h(t, o) >= 2 * Quantity_o for o = 1 : num_orders % n_w的约束 Aeq_row = zeros(1, num_vars); for t = 1 : num_materials idx = (t - 1) * num_orders + o; Aeq_row(idx) = 1; end Aeq = [Aeq; Aeq_row]; beq = [beq; 2 * orders(o, 2)]; % n_h的约束 Aeq_row = zeros(1, num_vars); for t = 1 : num_materials idx = num_materials * num_orders + (t - 1) * num_orders + o; Aeq_row(idx) = 1; end Aeq = [Aeq; Aeq_row]; beq = [beq; 2 * orders(o, 2)]; end % 2. 原材料长度限制： % sum_o (n_w(t, o) * w_o + n_h(t, o) * h_o) + (sum_o (n_w(t, o) + n_h(t, o)) - 1) * kerf <= L_t * y_t for t = 1 : num_materials L_t = raw_materials(t, 1); % 非线性约束，需要线性化处理（略复杂，这里简化假设w和h固定为目标值） % 这里假设w和h为目标值，忽略误差范围 w_o = orders(:, 3); h_o = orders(:, 4); % 约束形式： % sum_o (n_w(t, o) * w_o + n_h(t, o) * h_o) + kerf * (sum_o (n_w(t, o) + n_h(t, o)) - 1) <= L_t * y_t % 由于w_o和h_o是变量，需要线性化处理（这里简化） % 这里假设w_o和h_o固定为目标值 A_row = zeros(1, num_vars); for o = 1 : num_orders idx_w = (t - 1) * num_orders + o; idx_h = num_materials * num_orders + (t - 1) * num_orders + o; A_row(idx_w) = w_o(o) + kerf; A_row(idx_h) = h_o(o) + kerf; end idx_y = 2 * num_materials * num_orders + t; A_row(idx_y) = -L_t; A = [A; A_row]; b = [b; -kerf]; % 因为右边是 <= L_t * y_t - kerf end % 3. 尺寸允许误差： % w_o >= w_min, w_o <= w_max % h_o >= h_min, h_o <= h_max for o = 1 : num_orders idx_w = 2 * num_materials * num_orders + num_materials + o; idx_h = 2 * num_materials * num_orders + num_materials + num_orders + o; lb(idx_w) = width_min(o); ub(idx_w) = width_max(o); lb(idx_h) = height_min(o); ub(idx_h) = height_max(o); end % 求解 options = optimoptions('intlinprog', 'Display', 'iter'); [x, fval, exitflag] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options); % 解析结果 if exitflag == 1 n_w = reshape(x(1 : num_materials * num_orders), [num_orders, num_materials])'; n_h = reshape(x(num_materials * num_orders + 1 : 2 * num_materials * num_orders), [num_orders, num_materials])'; y = x(2 * num_materials * num_orders + 1 : 2 * num_materials * num_orders + num_materials); w = x(2 * num_materials * num_orders + num_materials + 1 : 2 * num_materials * num_orders + num_materials + num_orders); h = x(2 * num_materials * num_orders + num_materials + num_orders + 1 : end); % 计算总成本和总收益 total_cost = sum(y .* raw_materials(:, 2)); total_revenue = sum(orders(:, 2) .* orders(:, 5)); profit = total_revenue - total_cost; % 计算切割损失率和利用率 total_raw_length = sum(y .* raw_materials(:, 1)); total_used_length = 0; for t = 1 : num_materials for o = 1 : num_orders total_used_length = total_used_length + n_w(t, o) * w(o) + n_h(t, o) * h(o); end end total_waste = total_raw_length - total_used_length; loss_rate = total_waste / total_raw_length * 100; utilization_rate = 100 - loss_rate; % 输出结果 fprintf('Optimal Solution Found:\n'); fprintf('Total Profit: %.2f\n', profit); fprintf('Total Cost: %.2f\n', total_cost); fprintf('Total Revenue: %.2f\n', total_revenue); fprintf('Loss Rate: %.2f%%\n', loss_rate); fprintf('Utilization Rate: %.2f%%\n', utilization_rate); fprintf('Raw Materials Used:\n'); for t = 1 : num_materials fprintf(' Material %d (%.1f m): %d\n', t, raw_materials(t, 1), y(t)); end fprintf('Cutting Plan:\n'); for t = 1 : num_materials if y(t) > 0 fprintf(' Material %d (%.1f m):\n', t, raw_materials(t, 1)); for o = 1 : num_orders if n_w(t, o) > 0 || n_h(t, o) > 0 fprintf(' Order %d: %d widths (%.2f m), %d heights (%.2f m)\n', ... o, n_w(t, o), w(o), n_h(t, o), h(o)); end end end end else fprintf('No feasible solution found.\n'); end ``` 注意事项 1. 非线性约束的处理：模型中原材料长度约束是非线性的（因为涉及 \( n \times w \) 和 \( n \times h \)），严格来说需要线性化或使用非线性求解器。上述代码简化了问题，假设 \( w \) 和 \( h \) 固定为目标值。 2. 精确求解：如果需要精确求解，可以： - 将 \( w \) 和 \( h \) 离散化（例如在允许误差范围内取几个离散值）。 - 使用非线性整数规划求解器（如 `ga` 或外部工具）。 3. MATLAB 的限制：`intlinprog` 只能处理线性问题，因此需要简化模型。 [2025-05-01 16:41:06 | AI问答 | 3370点数解答]