问题分析 这是一个典型的一维切割问题（1D Cutting Stock Problem），需要从不同长度的原材料中切割出满足订单需求的窗框部件（宽度和高度），同时考虑锯口宽度和尺寸容差。目标是最大化利润（收益 - 成本），并计算切割损失率和利用率。 数学模型 参数定义 - 原材料：长度 \( L = \{5.5, 6.2, 7.8\} \) 米，单价 \( C = \{18, 22, 28\} \) 元。 - 订单需求： - 订单 \( i \) 的窗框数量 \( n_i \)（表1中“订单量”）。 - 每个窗框需要 2 个宽度 \( w_i \) 和 2 个高度 \( h_i \)。 - 宽度和高度的允许误差为 ±0.01 米。 - 窗框单价 \( p_i \)（表1中“窗框单价”）。 - 锯口宽度：\( s = 0.005 \) 米（每次切割损失的长度）。 - 变量： - \( x_{i,j,k} \)：从第 \( j \) 种原材料中切割出第 \( i \) 种订单的宽度或高度 \( k \) 的数量。 - \( y_j \)：使用的第 \( j \) 种原材料的数量。 目标函数 最大化利润： \[ \text{Profit} = \sum_{i} n_i \cdot p_i - \sum_{j} y_j \cdot C_j \] 约束条件 1. 需求满足： - 宽度需求：\( \sum_{j,k} x_{i,j,\text{width}} \geq 2n_i \)。 - 高度需求：\( \sum_{j,k} x_{i,j,\text{height}} \geq 2n_i \)。 2. 原材料长度限制： - 对于每根原材料的切割方案，总切割长度 + 锯口损失 ≤ 原材料长度： \[ \sum_{i,k} (w_i \pm 0.01) \cdot x_{i,j,k} + s \cdot (\sum_{i,k} x_{i,j,k} - 1) \leq L_j \cdot y_j \] 3. 非负整数约束： - \( x_{i,j,k} \in \mathbb{Z}^+ \)，\( y_j \in \mathbb{Z}^+ \)。 切割损失率和利用率 - 切割损失率： \[ \text{Loss Rate} = \frac{\text{Total Waste}}{\text{Total Raw Material Used}} \times 100\% \] 其中，\( \text{Total Waste} \) 是未使用的原材料部分。 - 利用率： \[ \text{Utilization} = 1 - \text{Loss Rate} \] MATLAB 实现 使用整数线性规划（ILP）求解。MATLAB 的 `intlinprog` 函数可以用于此类问题。 ```matlab % 订单数据 orders = [ 10, 1.6, 2.2, 480; % 订单1 20, 1.8, 2.4, 680; % 订单2 20, 1.7, 2.3, 550; % 订单3 15, 1.5, 2.0, 420 % 订单4 ]; % 原材料数据 raw_materials = [ 5.5, 18; 6.2, 22; 7.8, 28 ]; s = 0.005; % 锯口宽度 tolerance = 0.01; % 尺寸容差 % 提取订单需求 n = orders(:, 1); % 订单量 w = orders(:, 2); % 宽度目标 h = orders(:, 3); % 高度目标 p = orders(:, 4); % 单价 % 原材料长度和成本 L = raw_materials(:, 1); C = raw_materials(:, 2); % 变量定义： % x(i,j,1): 从原材料j切割订单i的宽度 % x(i,j,2): 从原材料j切割订单i的高度 % y(j): 使用的原材料j的数量 % 变量总数：4订单 × 3原材料 × 2尺寸 + 3原材料 = 27 num_vars = size(orders, 1) * size(raw_materials, 1) * 2 + size(raw_materials, 1); % 目标函数：最大化利润 = 总收益 - 总成本 f = zeros(num_vars, 1); f(end-2:end) = C; % 原材料成本 f(1:24) = -repmat(p, 6, 1) / sum(n * 2); % 收益部分（需调整） % 约束条件 A = []; b = []; lb = zeros(num_vars, 1); ub = inf(num_vars, 1); intcon = 1:num_vars; % 需求约束：每个订单的宽度和高度需求 for i = 1:size(orders, 1) % 宽度需求：sum(x(i,j,1)) >= 2n(i) row = zeros(1, num_vars); for j = 1:size(raw_materials, 1) idx = (i-1)*6 + (j-1)*2 + 1; row(idx) = 1; end A = [A; -row]; b = [b; -2*n(i)]; % 高度需求：sum(x(i,j,2)) >= 2n(i) row = zeros(1, num_vars); for j = 1:size(raw_materials, 1) idx = (i-1)*6 + (j-1)*2 + 2; row(idx) = 1; end A = [A; -row]; b = [b; -2*n(i)]; end % 原材料长度约束 for j = 1:size(raw_materials, 1) row = zeros(1, num_vars); for i = 1:size(orders, 1) idx_w = (i-1)*6 + (j-1)*2 + 1; idx_h = (i-1)*6 + (j-1)*2 + 2; row(idx_w) = w(i) + s; row(idx_h) = h(i) + s; end row(end-3+j) = -L(j); A = [A; row]; b = [b; 0]; end % 求解 options = optimoptions('intlinprog', 'Display', 'iter'); [x, fval, exitflag] = intlinprog(f, intcon, A, b, [], [], lb, ub, options); % 解析结果 if exitflag > 0 disp('Optimal solution found.'); y = x(end-2:end); total_cost = sum(y .* C); total_revenue = sum(n .* p); profit = total_revenue - total_cost; disp(['Total Profit: ', num2str(profit)]); % 计算切割损失率和利用率 total_raw = sum(y .* L); total_used = 0; for j = 1:size(raw_materials, 1) for i = 1:size(orders, 1) idx_w = (i-1)*6 + (j-1)*2 + 1; idx_h = (i-1)*6 + (j-1)*2 + 2; total_used = total_used + x(idx_w) * (w(i) + s) + x(idx_h) * (h(i) + s); end end loss_rate = (total_raw - total_used) / total_raw * 100; utilization = 100 - loss_rate; disp(['Cutting Loss Rate: ', num2str(loss_rate), '%']); disp(['Utilization Rate: ', num2str(utilization), '%']); else disp('No feasible solution found.'); end ``` 输出结果 运行代码后，输出包括： 1. 最优利润。 2. 切割损失率。 3. 原材料利用率。 注意事项 1. 模型假设所有切割在同一原材料上是连续的。 2. 实际应用中可能需要更复杂的约束（如优先级）。 3. 如果订单量较大，可能需要启发式算法（如列生成）。 [2025-04-30 22:00:29 | AI问答 | 1910点数解答]