问题分析 我们需要为四个订单的窗框需求制定最优的切割方案，目标是最大化利润（销售收入减去原材料成本）。每个窗框需要两个宽度和两个高度的切割件。原材料有三种长度可选，每种有不同的单价。切割时有锯口宽度的影响，且允许目标尺寸有±0.01米的误差。 数学模型 变量定义 - \( x_{i,j} \)：使用第 \( j \) 种原材料切割第 \( i \) 种订单的宽度件的数量。 - \( y_{i,j} \)：使用第 \( j \) 种原材料切割第 \( i \) 种订单的高度件的数量。 - \( z_j \)：使用的第 \( j \) 种原材料的数量。 - \( L_j \)：第 \( j \) 种原材料的长度（5.5, 6.2, 7.8）。 - \( C_j \)：第 \( j \) 种原材料的单价（18, 22, 28）。 - \( W_i \)：第 \( i \) 种订单的宽度目标。 - \( H_i \)：第 \( i \) 种订单的高度目标。 - \( Q_i \)：第 \( i \) 种订单的需求量（套）。 - \( P_i \)：第 \( i \) 种订单的窗框单价。 - \( s \)：锯口宽度（0.005米）。 - \( \delta \)：允许的尺寸误差（0.01米）。 目标函数 最大化利润： \[ \text{Profit} = \sum_{i} Q_i P_i - \sum_{j} z_j C_j \] 约束条件 1. 需求满足： - 宽度件：\( \sum_{j} x_{i,j} \geq 2 Q_i \) 对每个 \( i \)。 - 高度件：\( \sum_{j} y_{i,j} \geq 2 Q_i \) 对每个 \( i \)。 2. 原材料长度限制： - 对每种原材料 \( j \)，所有切割件的总长度加上锯口宽度不超过 \( z_j L_j \)： \[ \sum_{i} (x_{i,j} (W_i \pm \delta + s) + y_{i,j} (H_i \pm \delta + s)) \leq z_j L_j \] 3. 非负整数： - \( x_{i,j}, y_{i,j}, z_j \) 为非负整数。 切割损失率和利用率 - 切割损失率： \[ \text{Loss}_j = \frac{z_j L_j - \sum_{i} (x_{i,j} (W_i \pm \delta) + y_{i,j} (H_i \pm \delta)}{z_j L_j} \] - 利用率： \[ \text{Utilization}_j = 1 - \text{Loss}_j \] MATLAB代码实现 ```matlab % 订单数据 orders = [ 1, 10, 1.6, 2.2, 480; % 学校教学楼 2, 20, 1.8, 2.4, 680; % 酒店客房 3, 20, 1.7, 2.3, 550; % 医院病房 4, 15, 1.5, 2.0, 420 % 办公楼 ]; % 原材料数据 materials = [ 5.5, 18; 6.2, 22; 7.8, 28 ]; % 参数 saw_width = 0.005; % 锯口宽度 delta = 0.01; % 允许误差 num_orders = size(orders, 1); num_materials = size(materials, 1); % 目标函数：最大化利润 = 销售收入 - 原材料成本 f = [zeros(2 * num_orders * num_materials, 1); -materials(:, 2)]; % 约束条件 A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = zeros(2 * num_orders * num_materials + num_materials, 1); ub = Inf(2 * num_orders * num_materials + num_materials, 1); intcon = 1:(2 * num_orders * num_materials + num_materials); % 需求约束：每个订单的宽度和高度件需求 for i = 1:num_orders % 宽度件需求：sum_j x_{i,j} >= 2 * Q_i row = zeros(1, 2 * num_orders * num_materials + num_materials); for j = 1:num_materials idx = (i-1) * num_materials + j; row(idx) = 1; end A = [A; -row]; b = [b; -2 * orders(i, 2)]; % 高度件需求：sum_j y_{i,j} >= 2 * Q_i row = zeros(1, 2 * num_orders * num_materials + num_materials); for j = 1:num_materials idx = num_orders * num_materials + (i-1) * num_materials + j; row(idx) = 1; end A = [A; -row]; b = [b; -2 * orders(i, 2)]; end % 原材料长度约束 for j = 1:num_materials row = zeros(1, 2 * num_orders * num_materials + num_materials); for i = 1:num_orders % 宽度件：x_{i,j} * (W_i + delta + saw_width) idx_x = (i-1) * num_materials + j; row(idx_x) = orders(i, 3) + delta + saw_width; % 高度件：y_{i,j} * (H_i + delta + saw_width) idx_y = num_orders * num_materials + (i-1) * num_materials + j; row(idx_y) = orders(i, 4) + delta + saw_width; end % z_j * L_j idx_z = 2 * num_orders * num_materials + j; row(idx_z) = -materials(j, 1); A = [A; row]; b = [b; 0]; end % 求解 options = optimoptions('intlinprog', 'Display', 'off'); [x, fval, exitflag] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options); if exitflag == 1 % 解析结果 x_ij = x(1:num_orders * num_materials); y_ij = x(num_orders * num_materials + 1:2 * num_orders * num_materials); z_j = x(2 * num_orders * num_materials + 1:end); % 计算利润 revenue = sum(orders(:, 2) .* orders(:, 5)); cost = sum(z_j .* materials(:, 2)); profit = revenue - cost; % 计算切割损失率和利用率 total_length = sum(z_j .* materials(:, 1)); used_length = 0; for i = 1:num_orders for j = 1:num_materials idx_x = (i-1) * num_materials + j; idx_y = num_orders * num_materials + (i-1) * num_materials + j; used_length = used_length + x_ij(idx_x) * (orders(i, 3) + delta) + ... y_ij(idx_y) * (orders(i, 4) + delta); end end loss_rate = (total_length - used_length) / total_length; utilization = 1 - loss_rate; % 输出结果 fprintf('最优利润：%.2f 元\n', profit); fprintf('切割损失率：%.2f%%\n', loss_rate * 100); fprintf('原材料利用率：%.2f%%\n', utilization * 100); % 输出切割方案 fprintf('\n切割方案：\n'); for j = 1:num_materials if z_j(j) > 0 fprintf('原材料 %d (长度 %.1f 米，单价 %d 元)，使用 %d 根：\n', ... j, materials(j, 1), materials(j, 2), z_j(j)); for i = 1:num_orders idx_x = (i-1) * num_materials + j; idx_y = num_orders * num_materials + (i-1) * num_materials + j; if x_ij(idx_x) > 0 || y_ij(idx_y) > 0 fprintf(' 订单 %d：宽度件 %d 个，高度件 %d 个\n', ... i, x_ij(idx_x), y_ij(idx_y)); end end end end else fprintf('未找到可行解。\n'); end ``` 输出说明 1. 最优利润：销售收入减去原材料成本的最大值。 2. 切割损失率：未利用的原材料长度占比。 3. 原材料利用率：实际利用的原材料长度占比。 4. 切割方案：每种原材料的用量及其切割的宽度件和高度件数量。 注意事项 - 模型假设所有切割件可以自由组合在原材料上，实际中可能需要考虑更复杂的排样问题。 - 允许的尺寸误差（±0.01米）在模型中通过调整切割件的长度实现。 - 锯口宽度在计算原材料长度时已考虑。 [2025-05-01 16:38:14 | AI问答 | 2175点数解答]