数学建模方案 1. 问题描述 我们需要在考虑原材料缺陷的情况下，制定最优切割方案，以满足订单需求。目标是最大化材料利用率，同时最小化切割损失率。使用多重整数线性规划（MILP）方法建立数学模型。 --- 2. 符号定义 - 原材料： - \( m \in \{1, 2, 3\} \)：原材料编号。 - \( L_m \)：原材料长度（米）。 - \( D_m \)：原材料缺陷集合，每个缺陷表示为 \( (p_{m,d}, l_{m,d}) \)，其中 \( p_{m,d} \) 是缺陷起始位置，\( l_{m,d} \) 是缺陷长度。 - 订单： - \( n \in \{1, 2, 3, 4\} \)：订单编号。 - \( N_n \)：订单量（套）。 - \( W_n \)：宽度目标（米）。 - \( H_n \)：高度目标（米）。 - \( P_n \)：窗框单价（元/套）。 - 决策变量： - \( x_{m,n} \)：原材料 \( m \) 用于订单 \( n \) 的切割次数。 - \( y_{m,n,k} \)：二进制变量，表示原材料 \( m \) 的第 \( k \) 段是否用于订单 \( n \)。 - \( z_{m,d} \)：二进制变量，表示原材料 \( m \) 的缺陷 \( d \) 是否被切割掉。 --- 3. 目标函数 最大化总利润（或最小化总成本）： \[ \text{Maximize} \quad \sum_{n=1}^4 N_n \cdot P_n - \sum_{m=1}^3 \sum_{n=1}^4 x_{m,n} \cdot C_m \] 其中： - \( C_m \) 是原材料 \( m \) 的单位成本。 - \( \sum_{n=1}^4 N_n \cdot P_n \) 是订单总收入。 - \( \sum_{m=1}^3 \sum_{n=1}^4 x_{m,n} \cdot C_m \) 是原材料总成本。 --- 4. 约束条件 # 4.1 订单需求约束 每个订单的需求必须被满足： \[ \sum_{m=1}^3 x_{m,n} \geq N_n \quad \forall n \in \{1, 2, 3, 4\} \] # 4.2 原材料可用性约束 每根原材料只能被切割一次： \[ \sum_{n=1}^4 x_{m,n} \leq 1 \quad \forall m \in \{1, 2, 3\} \] # 4.3 缺陷处理约束 缺陷区域不能被用于切割： \[ y_{m,n,k} = 0 \quad \text{如果段 } k \text{ 包含缺陷区域} \] 具体实现： - 将原材料 \( m \) 划分为若干段，每段长度为 \( W_n + H_n \)。 - 确保每段不包含任何缺陷区域。 # 4.4 切割段长度约束 每段的长度必须满足订单需求： \[ W_n + H_n \leq \text{段长度} \quad \forall n \] # 4.5 整数约束 所有决策变量为非负整数或二进制： \[ x_{m,n} \in \mathbb{Z}^+, \quad y_{m,n,k} \in \{0, 1\}, \quad z_{m,d} \in \{0, 1\} \] --- 5. 模型求解 使用多重整数线性规划求解器（如 Gurobi、CPLEX 或 Python 的 PuLP、Pyomo）求解上述模型。输入数据包括： - 原材料长度和缺陷信息。 - 订单需求和单价。 - 原材料成本。 --- 6. 输出结果 - 最优切割方案：每根原材料的切割分配（\( x_{m,n} \)）。 - 切割损失率：未利用的材料占总材料的比例。 - 利用率：实际使用的材料占总材料的比例。 - 总利润：订单总收入减去原材料总成本。 --- 7. 示例数据 以原材料 1 为例： - 长度：5.5 米。 - 缺陷：\( (1.0, 0.03) \)、\( (2.5, 0.04) \)。 - 可用段：\( [0, 0.97] \)、\( [1.03, 2.46] \)、\( [2.54, 5.5] \)。 以订单 1 为例： - 需求：120 套，宽度 1.6 米，高度 2.2 米。 - 每段长度：\( 1.6 + 2.2 = 3.8 \) 米。 --- 8. 通过上述数学模型，可以制定最优切割方案，最大化材料利用率和利润，同时避免缺陷区域的影响。模型可根据实际数据调整和扩展。 [2025-08-12 19:54:42 | AI问答 | 1342点数解答]