问题分析 为了实现利润最大化，需要在满足订单需求的前提下，合理选择原材料并确定切割方案，使得总成本（原材料成本）与总收益（窗框销售收益）的差值最大。还需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响，以及每个窗框目标尺寸的允许误差范围。 数学模型建立 决策变量 - $x_{i,j}$：表示第 $i$ 种原材料（$i = 1,2,3$ 分别对应长度为 5.5 米、6.2 米、7.8 米的原材料）用于切割第 $j$ 个订单（$j = 1,2,3,4$ 分别对应学校教学楼、酒店客房、医院病房、办公楼订单）的数量。 - $y_{i,k}$：表示第 $i$ 种原材料的使用数量。 目标函数 最大化利润 $Z$： $Z = \sum_{j = 1}^{4} n_j \times p_j - \sum_{i = 1}^{3} y_{i} \times c_i$ 其中，$n_j$ 是第 $j$ 个订单的订单量，$p_j$ 是第 $j$ 个订单的窗框单价，$c_i$ 是第 $i$ 种原材料的单价。 约束条件 1. 订单需求满足约束： 对于每个订单 $j$，需要满足其宽度和高度的需求。每个窗框需要两个宽和两个高，考虑锯口宽度 $\delta = 0.005$ 米和允许误差范围 $\epsilon = 0.01$ 米。 $2 \times n_j \times (w_j - \epsilon) \leq \sum_{i = 1}^{3} x_{i,j} \times (实际切割宽度 - 锯口宽度)$ $2 \times n_j \times (h_j - \epsilon) \leq \sum_{i = 1}^{3} x_{i,j} \times (实际切割高度 - 锯口宽度)$ 其中，$w_j$ 和 $h_j$ 分别是第 $j$ 个订单的宽度目标和高度目标。 2. 原材料长度约束： 对于每种原材料 $i$，其使用的长度不能超过其总长度。 $\sum_{j = 1}^{4} x_{i,j} \times (切割尺寸 + 锯口宽度) \leq y_{i} \times L_i$ 其中，$L_i$ 是第 $i$ 种原材料的长度。 3. 非负整数约束： $x_{i,j} \geq 0$ 且为整数，$y_{i} \geq 0$ 且为整数。 Python 代码实现 ```python import pulp # 订单信息 orders = [ {"name": "学校教学楼", "quantity": 10, "width": 1.6, "height": 2.2, "price": 480}, {"name": "酒店客房", "quantity": 20, "width": 1.8, "height": 2.4, "price": 680}, {"name": "医院病房", "quantity": 20, "width": 1.7, "height": 2.3, "price": 550}, {"name": "办公楼", "quantity": 15, "width": 1.5, "height": 2.0, "price": 420} ] # 原材料信息 materials = [ {"length": 5.5, "price": 18}, {"length": 6.2, "price": 22}, {"length": 7.8, "price": 28} ] # 锯口宽度 saw_width = 0.005 # 允许误差范围 error_range = 0.01 # 创建线性规划问题 prob = pulp.LpProblem("WindowFrameCutting", pulp.LpMaximize) # 决策变量 x = pulp.LpVariable.dicts("x", [(i, j) for i in range(len(materials)) for j in range(len(orders))], lowBound=0, cat='Integer') y = pulp.LpVariable.dicts("y", range(len(materials)), lowBound=0, cat='Integer') # 目标函数 total_revenue = sum(order["quantity"] * order["price"] for order in orders) total_cost = sum(y[i] * materials[i]["price"] for i in range(len(materials))) prob += total_revenue - total_cost # 订单需求满足约束 for j, order in enumerate(orders): total_width_cut = sum(x[(i, j)] * (order["width"] + saw_width) for i in range(len(materials))) total_height_cut = sum(x[(i, j)] * (order["height"] + saw_width) for i in range(len(materials))) prob += total_width_cut >= 2 * order["quantity"] * (order["width"] - error_range) prob += total_height_cut >= 2 * order["quantity"] * (order["height"] - error_range) # 原材料长度约束 for i, material in enumerate(materials): total_cut_length = sum(x[(i, j)] * (max(orders[j]["width"], orders[j]["height"]) + saw_width) for j in range(len(orders))) prob += total_cut_length <= y[i] * material["length"] # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("最优利润: ", pulp.value(prob.objective)) print("原材料使用数量:") for i, material in enumerate(materials): print(f"长度为 {material['length']} 米的原材料使用数量: {pulp.value(y[i])}") # 计算切割损失率和利用率 total_material_length = sum(pulp.value(y[i]) * materials[i]["length"] for i in range(len(materials))) total_cut_length = sum(sum(pulp.value(x[(i, j)]) * (max(orders[j]["width"], orders[j]["height"]) + saw_width) for j in range(len(orders))) for i in range(len(materials))) cutting_loss = total_material_length - total_cut_length cutting_loss_rate = cutting_loss / total_material_length utilization_rate = 1 - cutting_loss_rate print("切割损失率: ", cutting_loss_rate) print("利用率: ", utilization_rate) ``` 额外需要注意的逻辑点 1. 切割顺序：在实际切割过程中，切割顺序可能会影响最终的切割损失，代码中未考虑切割顺序，实际应用时需要进一步优化。 2. 原材料浪费：由于窗框的宽度和高度不同，可能会导致原材料的浪费，需要在切割方案中尽量减少这种浪费。 3. 误差累积：在多次切割过程中，锯口宽度的误差可能会累积，需要在实际操作中进行适当的调整。 [2025-06-21 12:46:36 | AI写代码神器 | 1595点数解答]