以下是针对问题的解决方案，包括数学建模、代码实现以及分析结果。 --- 数学建模 1. 决策变量： - \( x_{ij} \)：表示使用第 \( i \) 种原材料切割第 \( j \) 类窗框的数量。 - \( y_i \)：表示购买第 \( i \) 种原材料的数量。 2. 目标函数： 最大化利润，即总收益减去总成本。 \[ \text{利润} = \sum_{j=1}^{4} p_j \cdot q_j - \sum_{i=1}^{3} c_i \cdot y_i \] 其中： - \( p_j \) 是第 \( j \) 类窗框的单价。 - \( q_j \) 是第 \( j \) 类窗框的订单量。 - \( c_i \) 是第 \( i \) 种原材料的单价。 3. 约束条件： - 原材料长度限制：每次切割后剩余长度不能为负。 \[ L_i - \sum_{j=1}^{4} (w_j + t) \cdot x_{ij} \geq 0 \] 其中： - \( L_i \) 是第 \( i \) 种原材料的长度。 - \( w_j \) 是第 \( j \) 类窗框的单根需求宽度或高度。 - \( t \) 是锯口宽度。 - 订单需求限制：满足所有订单的需求。 \[ \sum_{i=1}^{3} x_{ij} \geq q_j \] - 非负性约束： \[ x_{ij} \geq 0, \quad y_i \geq 0 \] 4. 切割损失率与利用率： - 切割损失率：\(\frac{\text{总切割损失}}{\text{总原材料长度}}\)。 - 利用率：\(\frac{\text{实际使用长度}}{\text{总原材料长度}}\)。 --- Python 实现 ```python from pulp import * # 数据输入 orders = [ {"id": 1, "quantity": 10, "width": 1.6, "height": 2.2, "price": 480}, {"id": 2, "quantity": 20, "width": 1.8, "height": 2.4, "price": 680}, {"id": 3, "quantity": 20, "width": 1.7, "height": 2.3, "price": 550}, {"id": 4, "quantity": 15, "width": 1.5, "height": 2.0, "price": 420} ] materials = [ {"length": 5.5, "cost": 18}, {"length": 6.2, "cost": 22}, {"length": 7.8, "cost": 28} ] saw_width = 0.005 # 创建优化问题 model = LpProblem("Window_Frame_Optimization", LpMaximize) # 决策变量 x = LpVariable.dicts("Cut", [(i, j) for i in range(len(materials)) for j in range(len(orders))], lowBound=0, cat="Integer") y = LpVariable.dicts("Material", range(len(materials)), lowBound=0, cat="Integer") # 目标函数 profit = lpSum(orders[j]["price"] * orders[j]["quantity"] for j in range(len(orders))) - \ lpSum(materials[i]["cost"] * y[i] for i in range(len(materials))) model += profit # 约束条件 for i in range(len(materials)): model += lpSum((orders[j]["width"] * 2 + orders[j]["height"] * 2 + saw_width) * x[(i, j)] for j in range(len(orders))) <= materials[i]["length"] * y[i] for j in range(len(orders)): model += lpSum(x[(i, j)] for i in range(len(materials))) >= orders[j]["quantity"] # 求解 model.solve() # 输出结果 print("Status:", LpStatus[model.status]) print("Optimal Profit:", value(model.objective)) # 切割方案 for v in model.variables(): if v.varValue > 0: print(v.name, "=", v.varValue) # 计算切割损失率和利用率 total_material_length = sum(materials[i]["length"] * y[i].varValue for i in range(len(materials))) used_length = sum((orders[j]["width"] * 2 + orders[j]["height"] * 2 + saw_width) * x[(i, j)].varValue for i in range(len(materials)) for j in range(len(orders))) loss_rate = (total_material_length - used_length) / total_material_length if total_material_length > 0 else 0 utilization_rate = used_length / total_material_length if total_material_length > 0 else 0 print("Cutting Loss Rate:", loss_rate) print("Material Utilization Rate:", utilization_rate) ``` --- 结果分析 运行上述代码后，可以获得以下结果： 1. 最优切割方案（具体每种原材料切割哪种窗框的数量）。 2. 最大化利润值。 3. 切割损失率和材料利用率。 --- 注意事项 1. 锯口宽度对实际切割尺寸的影响必须精确计算。 2. 材料利用率可以通过调整切割顺序进一步优化。 3. 如果订单量较大，可以考虑批量采购更长的原材料以减少浪费。 [2025-06-21 12:57:33 | AI写代码神器 | 1283点数解答]