问题分析 此问题属于复杂的切割优化问题，目标是在考虑锯口宽度、原材料缺陷的情况下，满足订单窗框需求，减少切割损失。需建立数学模型，设计决策变量、目标函数与约束条件，再用合适算法求解。 数学模型建立 决策变量 - $x_{ijk}$：第 $i$ 种原材料使用第 $j$ 种切割模式切割 $k$ 次，其中 $i = 1,2,3$ 分别对应长度为 $5.5$ 米、$6.2$ 米、$7.8$ 米的原材料；$j$ 为切割模式编号；$k$ 为切割次数。 - $y_{mn}$：订单 $m$ 中第 $n$ 个窗框需求是否被满足，$m = 1,2,3,4$ 分别对应学校教学楼、酒店客房、医院病房、办公楼订单；$n$ 为窗框编号。 目标函数 最小化切割成本与切割损失之和： \[ \min \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j} \text{cost}_i \cdot x_{ijk} + \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j} \text{waste}_{ij} \cdot x_{ijk} \] 其中，$\text{cost}_i$ 是第 $i$ 种原材料的单价，$\text{waste}_{ij}$ 是第 $i$ 种原材料采用第 $j$ 种切割模式的切割损失。 约束条件 1. 订单需求满足约束： 对于每个订单 $m$，其窗框需求应被满足： \[ \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j} \text{produce}_{ijmn} \cdot x_{ijk} \geq \text{demand}_m \quad \forall m \] 其中，$\text{produce}_{ijmn}$ 是第 $i$ 种原材料采用第 $j$ 种切割模式时，能满足订单 $m$ 第 $n$ 个窗框需求的数量，$\text{demand}_m$ 是订单 $m$ 的订单量。 2. 原材料长度约束： 每种切割模式下，切割的窗框长度与锯口宽度之和不能超过原材料长度： \[ \sum_{m = 1}^{4}\sum_{n} \text{length}_{mn} \cdot \text{produce}_{ijmn} + \text{saw_cut}_{ij} \leq L_i \quad \forall i,j \] 其中，$\text{length}_{mn}$ 是订单 $m$ 第 $n$ 个窗框的长度，$\text{saw_cut}_{ij}$ 是第 $i$ 种原材料采用第 $j$ 种切割模式的锯口总宽度，$L_i$ 是第 $i$ 种原材料的长度。 3. 缺陷约束： 切割的窗框不能包含缺陷区域： \[ \text{start}_i + \text{length}_{mn} \cdot \text{produce}_{ijmn} \leq \text{defect_start}_i \quad \text{or} \quad \text{start}_i \geq \text{defect_start}_i + \text{defect_length}_i \quad \forall i,j,m,n \] 其中，$\text{start}_i$ 是切割起始位置，$\text{defect_start}_i$ 是第 $i$ 种原材料的缺陷起始位置，$\text{defect_length}_i$ 是第 $i$ 种原材料的缺陷长度。 Python代码实现 ```python import itertools import pulp # 订单信息 orders = [ {"name": "学校教学楼", "quantity": 10, "width": 1.6, "height": 2.2, "price": 480}, {"name": "酒店客房", "quantity": 20, "width": 1.8, "height": 2.4, "price": 680}, {"name": "医院病房", "quantity": 20, "width": 1.7, "height": 2.3, "price": 550}, {"name": "办公楼", "quantity": 15, "width": 1.5, "height": 2.0, "price": 420} ] # 原材料信息 raw_materials = [ {"length": 5.5, "price": 18, "defects": [(1.0, 0.03), (2.5, 0.04)]}, {"length": 6.2, "price": 22, "defects": [(0.5, 0.02), (1.8, 0.05)]}, {"length": 7.8, "price": 28, "defects": [(3.0, 0.03)]} ] # 锯口宽度 saw_width = 0.005 # 生成所有可能的切割模式 all_patterns = [] for rm in raw_materials: lengths = [] for order in orders: lengths.extend([order["width"], order["height"]]) possible_cuts = [] for r in range(1, len(lengths) + 1): for combination in itertools.combinations(lengths, r): total_length = sum(combination) + (len(combination) - 1) * saw_width if total_length <= rm["length"]: valid = True for start, length in rm["defects"]: for cut_start in range(len(combination)): cut_end = sum(combination[:cut_start + 1]) + cut_start * saw_width if start <= cut_end and start + length >= cut_end - combination[cut_start]: valid = False break if not valid: break if valid: possible_cuts.append(combination) all_patterns.append(possible_cuts) # 创建线性规划问题 prob = pulp.LpProblem("Cutting_Problem", pulp.LpMinimize) # 决策变量 x = [] for i in range(len(raw_materials)): x_i = [] for j in range(len(all_patterns[i])): x_ij = pulp.LpVariable(f"x_{i}_{j}", lowBound=0, cat='Integer') x_i.append(x_ij) x.append(x_i) # 目标函数 cost = pulp.lpSum([rm["price"] * pulp.lpSum(x[i]) for i, rm in enumerate(raw_materials)]) waste = pulp.lpSum([(rm["length"] - sum(pattern) - (len(pattern) - 1) * saw_width) * x[i][j] for i, rm in enumerate(raw_materials) for j, pattern in enumerate(all_patterns[i])]) prob += cost + waste # 约束条件 # 订单需求满足约束 for order_index, order in enumerate(orders): total_produced = pulp.lpSum([pulp.lpSum([pattern.count(order["width"]) + pattern.count(order["height"]) for pattern in all_patterns[i]]) * x[i][j] for i in range(len(raw_materials)) for j in range(len(all_patterns[i]))]) prob += total_produced >= order["quantity"] * 4 # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 total_cost = pulp.value(prob.objective) total_waste = 0 total_used = 0 for i, rm in enumerate(raw_materials): for j, pattern in enumerate(all_patterns[i]): if pulp.value(x[i][j]) > 0: waste_per_pattern = rm["length"] - sum(pattern) - (len(pattern) - 1) * saw_width total_waste += waste_per_pattern * pulp.value(x[i][j]) total_used += sum(pattern) * pulp.value(x[i][j]) total_raw_material = sum([rm["length"] * pulp.lpSum([pulp.value(x[i][j]) for j in range(len(all_patterns[i]))]) for i, rm in enumerate(raw_materials)]) cutting_loss_rate = total_waste / total_raw_material utilization_rate = total_used / total_raw_material print(f"最优切割方案总成本: {total_cost} 元") print(f"切割损失率: {cutting_loss_rate * 100:.2f}%") print(f"利用率: {utilization_rate * 100:.2f}%") ``` 代码解释 1. 数据初始化：定义订单信息、原材料信息和锯口宽度。 2. 生成切割模式：使用 `itertools.combinations` 生成所有可能的切割组合，过滤掉不满足长度和缺陷约束的组合。 3. 线性规划问题创建：使用 `pulp` 库创建线性规划问题，定义决策变量、目标函数和约束条件。 4. 求解问题：调用 `prob.solve()` 求解线性规划问题。 5. 结果输出：计算并输出最优切割方案的总成本、切割损失率和利用率。 复杂度分析 - 时间复杂度：生成切割模式的时间复杂度为 $O(2^n)$，其中 $n$ 是所有可能的窗框长度数量。线性规划求解的时间复杂度取决于具体的求解算法和问题规模。 - 空间复杂度：主要用于存储所有可能的切割模式，空间复杂度为 $O(2^n)$。 [2025-06-02 20:57:47 | AI问答 | 2196点数解答]