问题1：数学模型建立 目标函数：最大化利润，即总收益减去总成本。 决策变量： - \( x_{ij} \)：表示第 \( i \) 种原材料用于第 \( j \) 个订单的切割次数。 - \( y_i \)：表示第 \( i \) 种原材料的使用数量。 约束条件： 1. 订单需求满足：每个订单的窗框数量必须满足。 2. 原材料长度限制：每次切割后，剩余原材料的长度必须足够进行下一次切割。 3. 尺寸误差范围：窗框的宽度和高度必须在允许的误差范围内。 4. 锯口宽度影响：每次切割时，实际切割尺寸需要考虑锯口宽度。 数学模型： \[ \text{Maximize} \quad \sum_{j} (\text{窗框单价}_j \times \text{订单量}_j) - \sum_{i} (\text{原材料单价}_i \times y_i) \] \[ \text{Subject to:} \] \[ \sum_{i} x_{ij} \geq \text{订单量}_j \quad \forall j \] \[ \sum_{j} (x_{ij} \times (\text{宽度目标}_j + \text{高度目标}_j + 2 \times \text{锯口宽度})) \leq \text{原材料长度}_i \times y_i \quad \forall i \] \[ |\text{实际宽度}_j - \text{宽度目标}_j| \leq 0.01 \quad \forall j \] \[ |\text{实际高度}_j - \text{高度目标}_j| \leq 0.01 \quad \forall j \] 问题2：考虑原材料缺陷的数学模型 目标函数：在问题1的基础上，最大化利润，同时考虑原材料缺陷的影响。 决策变量： - \( x_{ij} \)：表示第 \( i \) 种原材料用于第 \( j \) 个订单的切割次数。 - \( y_i \)：表示第 \( i \) 种原材料的使用数量。 - \( z_{ik} \)：表示第 \( i \) 种原材料的第 \( k \) 个缺陷是否被避开。 约束条件： 1. 订单需求满足：每个订单的窗框数量必须满足。 2. 原材料长度限制：每次切割后，剩余原材料的长度必须足够进行下一次切割。 3. 尺寸误差范围：窗框的宽度和高度必须在允许的误差范围内。 4. 锯口宽度影响：每次切割时，实际切割尺寸需要考虑锯口宽度。 5. 缺陷避开：切割方案必须避开原材料的缺陷区域。 数学模型： \[ \text{Maximize} \quad \sum_{j} (\text{窗框单价}_j \times \text{订单量}_j) - \sum_{i} (\text{原材料单价}_i \times y_i) \] \[ \text{Subject to:} \] \[ \sum_{i} x_{ij} \geq \text{订单量}_j \quad \forall j \] \[ \sum_{j} (x_{ij} \times (\text{宽度目标}_j + \text{高度目标}_j + 2 \times \text{锯口宽度})) \leq \text{原材料长度}_i \times y_i \quad \forall i \] \[ |\text{实际宽度}_j - \text{宽度目标}_j| \leq 0.01 \quad \forall j \] \[ |\text{实际高度}_j - \text{高度目标}_j| \leq 0.01 \quad \forall j \] \[ \text{缺陷区域}_k \text{不能包含在切割方案中} \quad \forall i, k \] Python代码实现 ```python import numpy as np from scipy.optimize import linprog import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd # 订单需求 orders = { '学校教学楼': {'量': 10, '宽': 1.6, '高': 2.2, '单价': 480}, '酒店客房': {'量': 20, '宽': 1.8, '高': 2.4, '单价': 680}, '医院病房': {'量': 20, '宽': 1.7, '高': 2.3, '单价': 550}, '办公楼': {'量': 15, '宽': 1.5, '高': 2.0, '单价': 420} } # 原材料信息 materials = { '5.5米': {'长度': 5.5, '单价': 18}, '6.2米': {'长度': 6.2, '单价': 22}, '7.8米': {'长度': 7.8, '单价': 28} } # 锯口宽度 saw_width = 0.005 # 缺陷信息 defects = { '5.5米': [{'位置': 1.0, '长度': 0.03}, {'位置': 2.5, '长度': 0.04}], '6.2米': [{'位置': 0.5, '长度': 0.02}, {'位置': 1.8, '长度': 0.05}], '7.8米': [{'位置': 3.0, '长度': 0.03}] } # 计算每个订单的窗框尺寸 for order in orders: orders[order]['实际宽'] = orders[order]['宽'] + saw_width orders[order]['实际高'] = orders[order]['高'] + saw_width # 目标函数系数（利润最大化） c = [] for material in materials: for order in orders: c.append(-orders[order]['单价']) c.append(materials[material]['单价']) # 约束条件矩阵 A = [] b = [] # 订单需求约束 for order in orders: row = [0] * len(orders) row[list(orders.keys()).index(order)] = 1 A.append(row) b.append(orders[order]['量']) # 原材料长度约束 for material in materials: row = [0] * len(orders) for i, order in enumerate(orders): row[i] = orders[order]['实际宽'] + orders[order]['实际高'] A.append(row) b.append(materials[material]['长度']) # 尺寸误差约束 for order in orders: row = [0] * len(orders) row[list(orders.keys()).index(order)] = 1 A.append(row) b.append(0.01) A.append(row) b.append(-0.01) # 缺陷约束 for material in defects: for defect in defects[material]: row = [0] * len(orders) A.append(row) b.append(-defect['长度']) # 求解线性规划问题 res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, method='highsos') # 结果输出 result = pd.DataFrame({ '订单': list(orders.keys()), '切割次数': res.x[:len(orders)], '原材料使用量': res.x[len(orders):] }) # 绘制结果表格 fig, ax = plt.subplots() ax.axis('tight') ax.axis('off') table = ax.table(cellText=result.values, colLabels=result.columns, cellLoc='center', loc='center') plt.show() ``` 结果解释 - 最大利润：通过优化模型计算出的最大利润值。 - 所耗各类原材料的个数：每种原材料的使用数量。 - 切割损失率及利用率：根据切割方案计算出的损失率和利用率。 注意事项 - 代码中的约束条件需要根据实际问题进行调整，特别是缺陷约束部分。 - 线性规划问题的求解可能需要根据实际情况进行参数调整。 [2025-07-18 20:18:27 | AI问答 | 2056点数解答]