问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求： 表1： 订单的具体切割需求 订单号 订单需求对象 订单量（套） 宽度目标（米） 高度目标（米） 窗框单价（元/套） 1 学校教学楼 10 1.6 2.2 480 2 酒店客房 20 1.8 2.4 680 3 医院病房 20 1.7 2.3 550 4 **办公楼 15 1.5 2.0 420 宽度和高度可以在给定尺寸的基础上有0.01米的变化范围，制作一个完整的窗框需要两个高和两个宽。已知原材料的长度分别为：5.5米、6.2米、7.8米，单价分别为18元/根、22元/根和28元/根，原材料的数量不限，锯口宽度为0.005米。请根据原材料的长度，在尽可能满足用户需求的情况下，建立数学模型，给出最优切割方案，实现利润最大化（总成本（原材料成本）与总收益（窗框销售收益）的差值），并计算所给方案整体的切割损失率及利用率。

数学模型建立 符号定义 - $i$：订单序号，$i = 1,2,3,4$ - $j$：原材料长度序号，$j = 1$（对应5.5米），$j = 2$（对应6.2米），$j = 3$（对应7.8米） - $n_i$：订单 $i$ 的订单量（套） - $w_i$：订单 $i$ 的宽度目标（米） - $h_i$：订单 $i$ 的高度目标（米） - $p_i$：订单 $i$ 的窗框单价（元/套） - $L_j$：原材料 $j$ 的长度（米） - $c_j$：原材料 $j$ 的单价（元/根） - $s$：锯口宽度（米），$s = 0.005$ - $x_{ij}$：使用原材料 $j$ 来满足订单 $i$ 的窗框套数 - $y_j$：使用原材料 $j$ 的数量 目标函数 总收益为 $\sum_{i = 1}^{4}p_i\times x_{ij}$，总成本为 $\sum_{j = 1}^{3}c_j\times y_j$，目标是最大化利润 $Z$： \[Z=\sum_{i = 1}^{4}p_i\times x_{ij}-\sum_{j = 1}^{3}c_j\times y_j\] 约束条件 1. 订单需求满足约束： \[\sum_{j = 1}^{3}x_{ij}\geq n_i, \quad i = 1,2,3,4\] 2. 原材料长度约束： 对于每种原材料 $j$，其使用长度不能超过总长度。制作一套窗框需要两个宽和两个高，每次切割有锯口损失。以一套窗框为例，需要切割 3 次（两个宽和两个高的切割），锯口损失为 $3s$。 对于订单 $i$ 和原材料 $j$，有： \[x_{ij}\times(2w_i + 2h_i+3s)\leq y_j\times L_j, \quad i = 1,2,3,4; j = 1,2,3\] 3. 非负整数约束： \[x_{ij}\geq0, \text{ 且为整数}, \quad i = 1,2,3,4; j = 1,2,3\] \[y_j\geq0, \text{ 且为整数}, \quad j = 1,2,3\] Python 代码实现 ```python import pulp # 订单信息 orders = [ {"id": 1, "quantity": 10, "width": 1.6, "height": 2.2, "price": 480}, {"id": 2, "quantity": 20, "width": 1.8, "height": 2.4, "price": 680}, {"id": 3, "quantity": 20, "width": 1.7, "height": 2.3, "price": 550}, {"id": 4, "quantity": 15, "width": 1.5, "height": 2.0, "price": 420} ] # 原材料信息 raw_materials = [ {"length": 5.5, "price": 18}, {"length": 6.2, "price": 22}, {"length": 7.8, "price": 28} ] # 锯口宽度 saw_width = 0.005 # 创建问题 prob = pulp.LpProblem("WindowFrameCutting", pulp.LpMaximize) # 定义变量 x = pulp.LpVariable.dicts("x", [(i, j) for i in range(len(orders)) for j in range(len(raw_materials))], lowBound=0, cat='Integer') y = pulp.LpVariable.dicts("y", range(len(raw_materials)), lowBound=0, cat='Integer') # 目标函数 total_revenue = pulp.lpSum([orders[i]["price"] * x[(i, j)] for i in range(len(orders)) for j in range(len(raw_materials))]) total_cost = pulp.lpSum([raw_materials[j]["price"] * y[j] for j in range(len(raw_materials))]) prob += total_revenue - total_cost # 订单需求满足约束 for i in range(len(orders)): prob += pulp.lpSum([x[(i, j)] for j in range(len(raw_materials))]) >= orders[i]["quantity"] # 原材料长度约束 for j in range(len(raw_materials)): for i in range(len(orders)): frame_length = 2 * orders[i]["width"] + 2 * orders[i]["height"] + 3 * saw_width prob += x[(i, j)] * frame_length <= y[j] * raw_materials[j]["length"] # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("最优利润:", pulp.value(prob.objective)) for j in range(len(raw_materials)): print(f"使用长度为 {raw_materials[j]['length']} 米的原材料数量: {pulp.value(y[j])}") # 计算切割损失率和利用率 total_used_length = 0 total_raw_length = 0 for j in range(len(raw_materials)): total_raw_length += pulp.value(y[j]) * raw_materials[j]["length"] for i in range(len(orders)): frame_length = 2 * orders[i]["width"] + 2 * orders[i]["height"] + 3 * saw_width total_used_length += pulp.value(x[(i, j)]) * frame_length cutting_loss_rate = (total_raw_length - total_used_length) / total_raw_length utilization_rate = total_used_length / total_raw_length print("切割损失率:", cutting_loss_rate) print("利用率:", utilization_rate) ``` 代码解释 1. 订单和原材料信息：使用字典列表存储订单和原材料的相关信息。 2. 问题定义：使用 `pulp` 库创建一个最大化问题。 3. 变量定义：定义决策变量 $x_{ij}$ 和 $y_j$，并设置为非负整数。 4. 目标函数：计算总收益和总成本，目标是最大化两者的差值。 5. 约束条件：添加订单需求满足约束和原材料长度约束。 6. 求解问题：调用 `prob.solve()` 求解线性规划问题。 7. 结果输出：输出最优利润、每种原材料的使用数量、切割损失率和利用率。 注意事项 - 该模型是一个简化的模型，实际切割过程中可能需要考虑更多的因素，如切割顺序、原材料的拼接等。 - 代码中的线性规划问题可能存在多种最优解，具体结果可能因求解器的不同而有所差异。 [2025-08-02 17:11:24 | AI问答 | 1628点数解答]