问题分析 该问题是一个复杂的切割优化问题，目标是在满足订单需求的前提下，通过合理选择原材料和切割方式，实现利润最大化，并计算切割损失。 数学模型建立 决策变量 - 设 $x_{ijk}$ 为第 $i$ 种原材料（$i = 1,2,3$ 分别对应长度为 $5.5$ 米、$6.2$ 米、$7.8$ 米的原材料）用于切割第 $j$ 个订单（$j = 1,2,3,4$ 分别对应学校教学楼、酒店客房、医院病房、办公楼订单）的第 $k$ 种窗框部件（$k = 1$ 表示宽度部件，$k = 2$ 表示高度部件）的原材料数量。 - 设 $w_{ij}$ 为第 $i$ 种原材料切割第 $j$ 个订单窗框后剩余的废料长度。 目标函数 利润最大化，即总收益减去总成本： \[ \max Z=\sum_{j = 1}^{4} n_j \times p_j-\sum_{i = 1}^{3} x_{i} \times c_i \] 其中，$n_j$ 是第 $j$ 个订单的订单量，$p_j$ 是第 $j$ 个订单的窗框单价，$x_i=\sum_{j = 1}^{4}\sum_{k = 1}^{2}x_{ijk}$ 是第 $i$ 种原材料的使用数量，$c_i$ 是第 $i$ 种原材料的单价。 约束条件 1. 需求满足约束：对于每个订单的每个窗框部件，切割得到的数量要满足订单需求。 对于第 $j$ 个订单的宽度部件： \[ \sum_{i = 1}^{3} x_{ij1}\geq 2\times n_j \] 对于第 $j$ 个订单的高度部件： \[ \sum_{i = 1}^{3} x_{ij2}\geq 2\times n_j \] 2. 原材料长度约束：切割每个订单的窗框部件后，剩余废料长度不能为负。 对于第 $i$ 种原材料切割第 $j$ 个订单的情况： \[ L_i - 2\times (w_j + 0.005)-2\times (h_j + 0.005)-w_{ij}\geq 0 \] 其中，$L_i$ 是第 $i$ 种原材料的长度，$w_j$ 是第 $j$ 个订单的宽度目标，$h_j$ 是第 $j$ 个订单的高度目标。 3. 尺寸范围约束：切割得到的窗框部件尺寸在允许误差范围内。 \[ w_j - 0.01\leq \text{切割宽度}\leq w_j + 0.01 \] \[ h_j - 0.01\leq \text{切割高度}\leq h_j + 0.01 \] 切割损失计算 切割损失为所有原材料的总长度减去所有窗框部件的总长度： \[ \text{切割损失}=\sum_{i = 1}^{3} x_i\times L_i-\sum_{j = 1}^{4}(2\times n_j\times (w_j + h_j)) \] Python 代码实现 ```python import pulp # 订单信息 orders = [ {"name": "学校教学楼", "quantity": 10, "width": 1.6, "height": 2.2, "price": 480}, {"name": "酒店客房", "quantity": 20, "width": 1.8, "height": 2.4, "price": 680}, {"name": "医院病房", "quantity": 20, "width": 1.7, "height": 2.3, "price": 550}, {"name": "办公楼", "quantity": 15, "width": 1.5, "height": 2.0, "price": 420} ] # 原材料信息 raw_materials = [ {"length": 5.5, "price": 18}, {"length": 6.2, "price": 22}, {"length": 7.8, "price": 28} ] # 锯口宽度 saw_width = 0.005 # 创建线性规划问题 prob = pulp.LpProblem("WindowFrameCutting", pulp.LpMaximize) # 决策变量 x = pulp.LpVariable.dicts("x", ((i, j, k) for i in range(len(raw_materials)) for j in range(len(orders)) for k in [1, 2]), lowBound=0, cat='Integer') # 目标函数 total_income = sum(order["quantity"] * order["price"] for order in orders) total_cost = pulp.lpSum(x[(i, j, k)] * raw_materials[i]["price"] for i in range(len(raw_materials)) for j in range(len(orders)) for k in [1, 2]) prob += total_income - total_cost # 需求满足约束 for j in range(len(orders)): prob += pulp.lpSum(x[(i, j, 1)] for i in range(len(raw_materials))) >= 2 * orders[j]["quantity"] prob += pulp.lpSum(x[(i, j, 2)] for i in range(len(raw_materials))) >= 2 * orders[j]["quantity"] # 原材料长度约束 for i in range(len(raw_materials)): for j in range(len(orders)): length_used = 2 * (orders[j]["width"] + saw_width) + 2 * (orders[j]["height"] + saw_width) prob += length_used * pulp.lpSum(x[(i, j, k)] for k in [1, 2]) <= raw_materials[i]["length"] * pulp.lpSum(x[(i, j, k)] for k in [1, 2]) # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("最优利润:", pulp.value(prob.objective)) # 计算切割损失 total_raw_length = sum(pulp.value(x[(i, j, k)]) * raw_materials[i]["length"] for i in range(len(raw_materials)) for j in range(len(orders)) for k in [1, 2]) total_frame_length = sum(2 * order["quantity"] * (order["width"] + order["height"]) for order in orders) cutting_loss = total_raw_length - total_frame_length print("切割损失:", cutting_loss) # 输出切割方案 for i in range(len(raw_materials)): for j in range(len(orders)): for k in [1, 2]: if pulp.value(x[(i, j, k)]) > 0: print(f"第 {i + 1} 种原材料用于切割第 {j + 1} 个订单的第 {k} 种部件的数量: {pulp.value(x[(i, j, k)])}") ``` 需要小心的地方 我在以往的开发过程中，碰到过以下几点需要格外小心处理的地方： 1. 约束条件的设定要准确，特别是原材料长度约束和需求满足约束，避免出现逻辑错误。 2. 锯口宽度的影响在计算中要考虑周全，否则会导致切割方案不合理。 3. 决策变量的类型选择要合适，这里选择整数类型是因为原材料数量必须是整数，否则可能得到不符合实际的结果。 [2025-08-11 15:46:28 | AI写代码神器 | 1758点数解答]